Español de Gerschgorin

En matemáticas, los teoremas de Gershgorin son algunos teoremas sobre la localización de valores propios de una matriz en el campo complejo. Su nombre se debe al matemático bielorruso Semyon Aranovich Gershgorin.

Considere el elemento Me {\displaystyle i} - th a Me Me {\displaystyle A_ {ii}} de la diagonal principal de A {\displaystyle A} y la suma de los módulos de los elementos fuera de la diagonal: estas dos cantidades identifican el subconjunto del plano complejo: correspondiente a un disco de radio R Me ( A ) {\displaystyle R_{i} (A)} centrado en a Me Me {\displaystyle A_ {ii}} , que se dice Me {\displaystyle i} - TH círculo de gershgorin de la matriz A {\displaystyle A} Una definición de importancia básica en la comprensión de estos teoremas es la del círculo de Gershgorin. Ambos A = ( a Me j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} una matriz en C y × y {\displaystyle \mathbb {C} ^{N \ times n}} .

Ambos A {\displaystyle A} una matriz como la anterior. Entonces los valores propios de A {\displaystyle A} pertenecen a la región del plano complejo Identificada por la intersección entre la Unión de círculos de fila y la Unión de círculos de columna A {\displaystyle A} . En fórmulas: demostración: ambos λ {\displaystyle \ lambda } un valor propio de A {\displaystyle A} y ser x = ( x j ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{j})} el vector propio correspondiente. Elige Me ∈ { 1 , … , y } {\displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n\}} así que x Me = max j | x j | {\displaystyle x_{i} = \ max _ {J} / x_{j}|} . Ya x {\displaystyle \mathbf {x} } es un vector propio, A x = λ x {\displaystyle A \ mathbf {x} = \ lambda \mathbf {x} } y así: así, descomponiendo la suma que obtenemos podemos dividir ambos miembros por x Me {\displaystyle x_{i}} (elegir Me {\displaystyle i} como arriba tenemos que x Me ≠ 0 {\displaystyle x_{i} \ neq 0} ) y pasando a los módulos llegamos a donde vale la pena la última desigualdad desde Esto es equivalente a decir: elegir Me {\displaystyle i} así que x Me {\displaystyle x_{i}} let ser la coordenada más grande, en módulo, del vector x {\displaystyle \mathbf {x} } . Entonces | x Me | & gt; 0 {\displaystyle / x_{i} / & gt; 0} de lo contrario x = 0 {\displaystyle \mathbf {x} = 0} .

Dijo y si M 1 ∩ M 2 = ∅ , {\displaystyle M_{1} \ cap m_{2} = \varnothing, } entonces exactamente k {\displaystyle k} los valores propios pertenecen a M 1 {\displaystyle M_{1}} y el resto y − k {\displaystyle n-k} pertenece a M 2 . {\displaystyle M_{2}. }

Si la matriz A {\displaystyle A} es irreductible, y hay un autovalor λ {\displaystyle \ lambda } de A {\displaystyle A} contenido en ∂ ( ⋃ Me = 1 y K Me ) {\displaystyle \partial \left (\bigcup _ {i = 1}^{n} K_{i} \ right)} entonces λ {\displaystyle \ lambda } se encuentra en la frontera de cada K Me , {\displaystyle K_{i}, } con Me = 1 , 2 , … y {\displaystyle i=1, 2, \ ldots n. } .

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