Espacio de Hilbert

En matemáticas, el espacio de Hilbert es un espacio vectorial que generaliza la noción de espacio euclidiano. Fueron introducidos por el famoso matemático David Hilbert a principios del siglo XX e hicieron una gran contribución al desarrollo del análisis funcional y armónico. Su interés radica en la preservación de algunas propiedades de los espacios euclidianos en espacios de funciones de dimensión infinita. Gracias a los espacios de Hilbert es posible formalizar la teoría de series de Fourier y generalizarla a bases arbitrarias. Heurísticamente, un espacio de Hilbert es un conjunto con una estructura lineal (espacio vectorial) en la que se define un producto escalar (por lo que es posible hablar de distancias, ángulos, ortogonalidad) y tal que se garantiza la integridad, es decir, que cualquier sucesión de Cauchy admite como límite un elemento del espacio mismo. En aplicaciones, los vectores de elementos de un espacio de Hilbert son frecuentemente secuencias de números complejos o funciones. Es crucial en la formalización matemática de la mecánica cuántica, donde un estado físico puede ser representado por un elemento (vector o ket) o por una combinación lineal adecuada de elementos de dicho espacio. El estado físico contiene información que puede explicarse proyectando el estado ket sobre un Autostato de un observable. Esta operación genera un elemento que pertenece a un nuevo espacio de Hilbert (llamado dual) que se llama función de onda. En el espacio de Hilbert de las Kets a veces se consideran espacios de Hilbert ampliados, que permiten formalizar tanto estados libres como Estados Unidos a través de la teoría de distribuciones.

Los espacios de Hilbert fueron introducidos por David Hilbert como parte de ecuaciones integrales. John von Neumann fue el PRIMERO en usar el nombre der abstrakte Hilbertsche Raum (el espacio abstracto de Hilbert) en su famoso trabajo sobre Operadores Hermitianos no limitados de 1929. Von Neumann mismo se le atribuye la comprensión de la importancia de esta estructura matemática, que utilizó ampliamente en su riguroso enfoque de la mecánica cuántica. Pronto, el nombre de espacio de Hilbert se convirtió en Ampliamente utilizado en las matemáticas.

Un espacio Hilbert H = ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle \mathbf {H} =(H, \ langle \ cdot, \ cdot \rangle)} es un espacio vectorial H {\displaystyle H} real o complejo sobre el que se define un producto nacional ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle } tal que, dijo d {\displaystyle \mathrm {d} } la distancia inducida por ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle } en H {\displaystyle H} el espacio métrico ( H , d ) {\displaystyle (H, \ mathrm {d})} estar completo Explícitamente, dicho V {\displaystyle V} un espacio vectorial en el campo real o complejo y ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle } un producto escalar (en el caso complejo, una forma Hermitiana) definido positivo en V {\displaystyle V} , entonces se define naturalmente una norma ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \ / \ cdot \ / } en el mismo espacio de colocación: para cada vector v ∈ V {\displaystyle v \ in V} Un espacio de Hilbert es, por lo tanto, un espacio prehilbertiano, en el que el producto interno define una norma, a través de la cual se define una distancia que es tal como para completar el espacio. Con tal norma, el espacio tiene la estructura del espacio normado. Puede ser asociado con un espacio normado ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V, \ / \ cdot \ /) } una estructura métrica natural, obtenida definiendo la distancia d {\displaystyle \mathrm {d} } as: de acuerdo con la identificación habitual de un espacio vectorial con un espacio afín construido tomando como puntos los vectores mismos, la distancia entre dos vectores es la norma de su diferencia. Datos dos vectores u , v ∈ H {\displaystyle u,\, v \ In H} , puede definir el ángulo θ {\displaystyle \ theta } de ellos formado por la relación: consistente con la definición anterior, dado cualquier conjunto K ⊂ H {\displaystyle K \ subconjunto H} el complemento ortogonal de K {\displaystyle K} como subespacio: en particular, dos vectores u {\displaystyle u} y v {\displaystyle v} dicen ortogonal si ⟨ u , v ⟩ = 0 {\displaystyle \ langle u, v \ rangle = 0} , es decir, si uno está en el complemento ortogonal del otro Datos dos vectores v , y ∈ H {\displaystyle v, e \ In H} el componente de v {\displaystyle v} largo y {\displaystyle e} el escalar ⟨ v , y ⟩ {\displaystyle \ langle v, e\rangle } y la proyección de v {\displaystyle v} en y {\displaystyle e} portador ⟨ v , y ⟩ ⟨ y , y ⟩ y {\displaystyle {\frac {\langle v, E \ rangle} {\langle e, e\rangle}}\, e} En el caso en que la norma deriva de un producto escalar, se aplica la siguiente igualdad: la presencia de un producto escalar proporciona la forma de definir en general algunas nociones propias del ámbito de los espacios de Hilbert. Además, se dice que una familia de vectores es ortonormal si los vectores que la componen son ortogonales de dos a dos y tienen norma 1.

Las siguientes propiedades, válidas para espacios euclidianos, también se extienden a los espacios de Hilbert.

Se dice que un espacio topológico es separable si contiene un subconjunto denso y numerable. Los espacios finitos dimensionales de Hilbert son siempre separables. En el caso de las dimensiones infinitas, sin embargo, hay dos ejemplos de espacios separables y no separables. Los primeros son de gran interés en las aplicaciones, y sobre ellos se ha construido una teoría bastante rica. Se puede afirmar informalmente que, entre los espacios dimensionales infinitos, los espacios separables de Hilbert son los que más se asemejan a los espacios dimensionales finitos, y por lo tanto son más fáciles de estudiar. Un espacio Hilbert H {\displaystyle H} es separable si y solo si tiene una base ortonormal S {\displaystyle S} de cardinalidad finita o contable. Si S {\displaystyle S} tener Y {\displaystyle N} elementos entonces H {\displaystyle H} es isomórfico a R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} o C y {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} . Si S {\displaystyle S} tiene una infinidad numerable de elementos entonces H {\displaystyle H} es isomorfo al espacio l 2 {\displaystyle l_{2}} . Una base ortonormal se obtiene aplicando el algoritmo de Gram-Schmidt a un conjunto numerable Denso. Por el contrario, el subespacio generado por una base ortonormal es un conjunto denso en el espacio de Hilbert. En un espacio Hilbert provisto de una base hilbertiana { y Me } {\displaystyle \{e_{i}\}} contable puede expresar cada vector escalar, norma o producto como la suma de una serie convergente: .

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