Enigma de Legendre

En matemáticas, el tamiz de Legendre es el método más simple en la teoría moderna del tamiz. Él aplica el concepto del tamiz de Eratóstenes para encontrar límites más bajos y más altos a la estimación de la cantidad de primos dentro de un rango dado de enteros. Dado que es una simple extensión de la idea de Eratóstenes, a veces se cita como Legendre - enigma de Eratóstenes.

La idea básica del método se expresa por esta identidad, a veces llamada identidad Legendre: donde A {\displaystyle A} es un rango de enteros, P {\displaystyle P} es el producto de primos distintos, μ {\displaystyle \ mu } es la función de Möbius, A d {\displaystyle a_ {d}} es el conjunto de enteros A {\displaystyle A} divisible por d {\displaystyle d} , y S ( A , P ) {\displaystyle S (A, P)} se define como: es decir, el número de enteros en A {\displaystyle A} que no tienen factores comunes con P {\displaystyle P} En la mayoría de los casos A {\displaystyle A} son todos los enteros menores o iguales a algún número X {\displaystyle X} , P {\displaystyle P} es el producto de todos los primos menores o iguales a algún entero z & lt; X {\displaystyle z & LT; X} , por lo que la identidad de Legendre se convierte en: (donde ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x \ rfloor } denota la parte total de x {\displaystyle x} ) En este ejemplo, el hecho de que la identidad de Legendre se deriva del acertijo de Eratóstenes es claro: el primer término es el número de enteros menor que X {\displaystyle X} , el segundo elimina los múltiplos de todos los primos, el tercero recupera los productos de dos primos (que fueron descartados por error) y así sucesivamente hasta que todo el 2 π ( z ) {\displaystyle 2^{\pi (z)}} (donde π ( z ) {\displaystyle \pi (z)} denotes the number of Prime minors of z {\displaystyle z} ) las combinaciones de first han sido cubiertas Una vez S ( A , P ) {\displaystyle S (A, P)} se ha calculado para este caso particular, se puede utilizar para obtener un límite superior para π ( X ) {\displaystyle \pi (X)} usando la expresión que sigue inmediatamente de la definición de S ( A , P ) {\displaystyle S (A, P)} .

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