Energía de Fermi

En física, particularmente en mecánica cuántica, la energía de Fermi es la energía del nivel más alto ocupada en un sistema de fermiones a la temperatura del cero absoluto. Su nombre proviene del físico italiano Enrico Fermi. El término "energía de Fermi" también se usa para referirse al concepto de nivel de Fermi, extendido en la física de semiconductores. La energía de Fermi y el potencial electroquímico coinciden en el cero absoluto, pero difieren a temperaturas más altas.

En mecánica cuántica, una clase de partículas indicadas con el nombre de fermiones (a los que pertenecen, por ejemplo, el electrón, el protón y el neutrón) obedece al principio de exclusión de Pauli. Este principio establece que dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado cuántico. Cada Estado de un sistema se caracteriza por los valores del conjunto de números cuánticos característicos del sistema. En un sistema que contiene muchos fermiones (como electrones en un metal), cada fermión tiene un conjunto diferente de valores numéricos cuánticos. Para calcular la energía mínima de un sistema de fermiones, es posible agrupar los estados que tienen la misma energía en conjuntos, y luego clasificar estos conjuntos en orden de energía creciente. Partiendo del sistema vacío (sin ningún fermión), podemos añadir gradualmente un fermión tras otro, ocupando así en orden todos los niveles de energía más bajos que aumentan cada vez. Cuando todas las partículas se han insertado así, la energía de Fermi coincide con la energía del estado cuántico más alto ocupado. Esto tiene la consecuencia de que, incluso si llevamos un metal al cero absoluto, los electrones dentro del metal todavía están en movimiento: el más rápido de ellos, de hecho, se moverá a tal velocidad que su energía cinética corresponde a la energía de Fermi. Tal velocidad se llama la velocidad de las paradas. Los niveles de energía de los fermiones a menudo se cuantifican debido a la forma de la energía potencial a la que están sometidos, por ejemplo, un electrón de la valencia de un metal ve grandes cambios en la energía potencial es negativo en la vecindad de los núcleos y del átomo y positivo en la vecindad de otros electrones que pertenecen a los átomos es diferente. La energía de los Estados varía con la continuidad si es mayor que el valor máximo de la energía potencial vista por el fermión considerado y se cuantifica por debajo de este valor y luego asume valores discretos gradualmente mayores (negativos si el fermión está ligado positivo si está libre) y cada vez más espesados. La energía de Fermi es el último de tales niveles discretos que pertenecen al fermión libre en el último estado ocupado. La presencia de los otros fermiones de la misma especie cerca de la considerada conduce a un aumento significativo en los niveles de energía cuantificada posible de modo que si los primeros eran pocos, bastante bien definidos y bien separados se convierten en numerosos y cercanos, manteniendo agrupaciones divididas para esto comúnmente representado por simplicidad como las bandas continúan como se muestra en la figura. La energía de Fermi es uno de los conceptos fundamentales de la física de la materia condensada : se utiliza, por ejemplo, para describir metales, aislantes y semiconductores. También es importante en la física de los superconductores, en la física de los líquidos cuánticos superfluidos (como 3 He a bajas temperaturas), en la física nuclear y para entender la estabilidad de las enanas blancas contra el colapso gravitacional. La energía de Fermi Y f {\displaystyle E_{f}} de un sistema de fermiones no interactuantes es igual al aumento de energía total del Estado de Valencia cuando las partículas se agregan solo una a la vez en el sistema. Del mismo modo, se puede ver como la energía de un solo fermión en el último nivel al menos parcialmente ocupado, es decir, el de máxima energía. El potencial químico en el cero absoluto coincide con la energía de Fermi.

El agujero potencial proporciona un modelo para representar una caja unidimensional: es un modelo típico de mecánica cuántica para el que se conocen las soluciones relacionadas con el caso de la partícula única. Indicando con y {\displaystyle n} el número cuántico que distingue los niveles del sistema, la energía está dada por: supongamos ahora que en lugar de una sola partícula, están presentes en el agujero Y {\displaystyle N} fermiones (espín semi-entero). Para el principio de exclusión de Pauli solo dos partículas pueden tener la misma energía; por lo tanto, solo dos partículas pueden tener la energía: otras dos la energía: y así sucesivamente. Tenga en cuenta, de hecho, que al ser fermiones, los dos estados de espín +1/2 (espín arriba) y espín - 1/2 (espín abajo) son posibles y, por lo tanto, es posible tener dos partículas con la misma energía que, sin embargo, de acuerdo con el principio de Pauli, no tienen todos los números cuánticos idénticos. Si ahora consideramos la energía total del sistema, es evidente que la situación donde la energía total es mínima (es decir, el estado fundamental) es una en la que todos los niveles hasta el Y / 2 {\displaystyle N / 2} - están ocupados (y todos los de energía superior están vacíos). La energía de Fermi de este estado fundamental es por lo tanto:.

El caso tridimensional isótropo se conoce como la esfera de Fermi. Considere una caja tridimensional cúbica en el lado L {\displaystyle L} (Véase también agujero de potencial infinito), que resulta ser una excelente aproximación para describir el comportamiento de los electrones en un metal. Entonces que los estados sean numerados por tres números cuánticos diferentes y x , y y {\displaystyle n_{x}, n_{y}} y y z {\displaystyle n_{z}} . Las energías de una sola partícula son entonces: donde y x , y y , y z {\displaystyle n_ {x}, n_{y}, n_{z}} son enteros positivos. Evidentemente hay una pluralidad de estados con la misma energía; por ejemplo Y 1 , 0 , 0 = Y 0 , 1 , 0 = Y 0 , 0 , 1 {\displaystyle E_{1, 0, 0}=E_{0, 1, 0}=E_{0, 0, 1}} supongamos que introducimos ahora Y {\displaystyle N} fermiones de espín 1 / 2 {\displaystyle 1/2} , no interactuando, en nuestra caja. Si introducimos el vector: entonces, cada estado cuántico corresponderá, en el espacio y {\displaystyle n} - dimensional, en un punto con energía: el número de estados con energía menor que Y f {\displaystyle E_{f}} es igual al número de estados dentro de la esfera del radio | y → f | {\displaystyle / {\vec {n}}_{f} / } , por supuesto teniendo en cuenta sólo esa región del espacio y {\displaystyle n} - dimensional donde y x , y y {\displaystyle n_{x}, n_{y}} y y z {\displaystyle n_{z}} Todos son positivos Para calcular la energía de Fermi consideramos el caso de Y {\displaystyle N} alto. En el estado fundamental, este número es igual al número de fermiones presentes en el sistema. Se encuentra así: de modo que la energía de Fermi está dada por: la siguiente relación entre la energía de Fermi y el número de partículas por unidad de volumen (tenga en cuenta que L 2 {\displaystyle L^{2}} fue reemplazado por V 2 / 3 {\displaystyle V^{2/3}} , ser V {\displaystyle V} volumen): la energía total de una esfera de retenedores con Y 0 {\displaystyle N_{0}} fermiones es dado por lo tanto por: donde el factor 2 {\displaystyle 2} es, de nuevo, debido al hecho de que hay dos estados de giro diferentes, mientras que el 1 / 8 {\displaystyle 1/8} surge del hecho de que solo una octava parte de la esfera cae en la región donde todos los y {\displaystyle n} son positivos.

Las estrellas conocidas como enanas blancas tienen una masa comparable a la de nuestro Sol, pero un radio 100 veces menor. Las altas densidades así logradas significan que los electrones ya no están ligados a los núcleos individuales, sino que forman un gas electrónico degenerado. La densidad electrónica en una enana blanca alcanza el orden de 10 36 electrones / m 3. Esto significa que la energía de Fermi es: otro ejemplo típico relacionado con la energía de Fermi es el de las partículas presentes en un núcleo atómico. El radio del núcleo es aproximadamente donde A {\displaystyle A} es el número de nucleones. La densidad de nucleones en un núcleo es, por lo tanto, como la energía de Fermi solo se aplica a fermiones, todos del mismo tipo, es necesario dividir esta densidad en dos: Esto es posible porque la presencia de neutrones no afecta la densidad de protones y viceversa. De esta manera, la energía de Fermi de un núcleo es: dado que el radio del núcleo puede variar alrededor del valor anterior, el valor típico de la energía de Fermi generalmente aceptada es de 38 Mev.

Bajo estas condiciones, la energía media ⟨ Y ⟩ {\displaystyle \left \ langle {E} \ right \ rangle } de un electrón se puede calcular por la fórmula: donde Gram ( Y ) {\displaystyle g (E)} es la función de la densidad de Estados (el factor 2 {\displaystyle 2} un numerador está dado por la degeneración de los electrones, que pueden tener 2 {\displaystyle 2} posibilidad de giro) y vale la pena: Gram ( Y ) = 2 m y 3 / 2 V Y 2 π 2 ℏ 3 {\displaystyle g(E)={\frac {2m_{e}^{3/2}V{\sqrt {E}}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\manejadores ^{3}}}} Sustituyendo, obtenemos la expresión para la energía media: donde Y f {\displaystyle E_{f}} es la energía de Fermi El nivel de Fermi es el nivel ocupado de mayor energía en el cero absoluto: en otras palabras, todos los niveles de energía hasta el nivel de Fermi están ocupados por electrones. Dado que los fermiones no pueden coexistir en estados de energía idénticos (véase el principio de exclusión), en el cero absoluto los electrones son capturados por el nivel de energía más bajo disponible creando el mar de Fermi de estados de energía electrónica. Ahora, de manera similar a lo que se hace para la energía promedio, es posible determinar la velocidad promedio de los fermiones: ⟨ v ⟩ = ∫ 0 Y f Gram ( Y ) v ( Y ) d Y ∫ 0 Y f Gram ( Y ) d Y {\displaystyle \left\langle {v}\right\rangle ={\frac {\int _{0}^{E_{f}}g(E)v(E)\ dE}{\int _{0}^{E_{f}}g(E)\, dE}}} , donde v ( Y ) = 2 Y m y {\displaystyle v (E) = {\sqrt {\frac {2E} {m_{e}}}}} se obtiene que ⟨ v ⟩ = 3 4 v f {\displaystyle \left \ langle {v} \ right \ rangle = {\frac {3} {4}} v_{f}} El momento de Fermi y la velocidad de Fermi son respectivamente el pulso y la velocidad de fermiones en la superficie de Fermi, que se calculan a partir de la energía con las expresiones habituales: donde m y {\displaystyle m_{e}} es la masa del electrón. El pulso de Fermi se utiliza normalmente en el caso de relaciones de dispersión entre la energía y el pulso que no dependen de la dirección. En el caso más general es necesario recurrir directamente a la energía de Fermi. Bajo la llamada temperatura de Fermi, las sustancias resaltan cada vez más los efectos cuánticos del enfriamiento. Tal temperatura se define por: donde k {\displaystyle k} es la constante de Boltzmann.

En un gas de electrones libres (la versión cuántica de un gas ideal de fermiones), los estados cuánticos se pueden distinguir según su pulso. Esto es similar a lo que sucede en los sistemas periódicos, como en el caso de los electrones dentro de la estructura cristalina de un metal, introduciendo el concepto de "cuasi - momento" o "momento cristalino" (ver onda de Bloch). En ambos casos, los Estados correspondientes a la energía de Fermi se encuentran, en el espacio de impulso, en una superficie llamada superficie de Fermi. Para el gas electrón libre, la superficie de Fermi coincide con la superficie de una esfera, mientras que, para los sistemas periódicos, suele ser una superficie más compleja (ver Zonas de Brillouin). El volumen encerrado por la superficie de Fermi define el número de electrones en el sistema, mientras que la topología del volumen está directamente relacionada con las propiedades de transporte del metal, como la conductividad eléctrica. El estudio de la superficie de Fermi a veces se llama fermiología. Las superficies de retención de la mayoría de los metales han sido ampliamente estudiadas tanto teórica como experimentalmente. La energía de Fermi de un gas de electrones libres está conectada al potencial químico por la relación: donde Y f {\displaystyle E_{f}} es la energía de Fermi, k {\displaystyle k} es la constante de Boltzmann y T {\displaystyle T} es la temperatura. En consecuencia, el potencial químico es (aproximadamente) igual a la energía de Fermi a temperaturas mucho más bajas que la temperatura de Fermi Y f / k {\displaystyle E_{f} / k} . Los valores típicos de la temperatura de Fermi para los metales son del orden de 10 5 K. en consecuencia, a temperatura ambiente (300 K) La energía de Fermi y el potencial químico son sustancialmente equivalentes. Esta equivalencia también es importante porque el potencial químico (y no la energía de Fermi) es utilizado por las estadísticas de Fermi - Dirac.

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