El método de Jacobi

En Análisis Numérico El método Jacobi es un método iterativo para resolver sistemas lineales, un método que calcula la solución de un sistema de ecuaciones lineales después de un número teóricamente infinito de pasos. Para calcular este resultado, el método utiliza una secuencia x ( k ) {\displaystyle x^{(k)}} que converge a la solución exacta del sistema lineal y calcula progresivamente sus valores deteniéndose cuando la solución obtenida está lo suficientemente cerca de la exacta. Fue concebido por el matemático alemán Carl Jacobi.

Al escribir la matriz A como una diferencia A = M - N, donde M es una matriz invertible (es decir, no singular, con determinante distinto de cero), entonces la solución x de Ax = b también resuelve las ecuaciones A partir de cualquier vector x 0, podemos construir una secuencia de vectores x k como Si esta secuencia converge a un vector x, entonces Ax = Para medir la distancia de los términos de la secuencia xk de la solución, y verificar si la secuencia converge, podemos considerar que un vector de diferencia en La sucesión de la diferencia vectorial está dada por la recursión que El algoritmo converge si y solo si la secuencia de diferencias, y k tiende al vector nulo. La convergencia está garantizada, independientemente de la elección inicial de x 0, si y solo si todos los valores propios de B = M -1 N = M -1 A - Tengo norma menor que 1, es decir, si el radio espectral (el valor máximo entre los módulos de los valores propios) es menor que 1. Se puede demostrar que si A es una matriz diagonal dominante en fila, entonces el algoritmo converge (lo mismo se aplica al método Gauss - Seidel).

El método de Jacobi es aplicar el algoritmo anterior con M = D, la matriz diagonal con la misma diagonal que A. Es necesario que A no tenga elementos nulos en la diagonal, porque D debe ser invertible. De lo contrario, es posible operar en A con una matriz de permutación P, de modo que no haya elementos nulos en la diagonal; la misma permutación debe aplicarse al vector b de las soluciones (PAx = Pb). La fórmula recursiva se convierte en Ahora al leer el método de Jacobi en un sistema lineal, escribiendo x = - D -1 ((A - D) xb) corresponde a aislar una variable para cada línea: la recursión en los vectores se define por En general, la recursión se puede expresar como .

El método de Jacobi requiere mantener al menos dos vectores (2 n) en la memoria, pero los cálculos se pueden realizar en paralelo en los componentes. Una vez calculada la Matriz B, para cada iteración el cálculo de cada uno de los N componentes requiere n - 1 multiplicaciones y n - 1 sumas.

En 2014, se publicó una nueva versión del algoritmo, llamada método Jacobi con relajación programada de restricciones, en la Universidad Johns Hopkins. Se declaró que el nuevo método era 200 veces más rápido.

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