Ecuación de Lane-Emden

En astrofísica, la ecuación de Lane - Emden es una forma adimensional de la ecuación de Poisson para el potencial gravitacional de una simetría esférica, fluido politrópico autogravitante. Lleva el nombre de los astrofísicos Jonathan Homer Lane y Robert Emden. La ecuación es donde ξ {\displaystyle \ xi } es un radio adimensional y θ {\displaystyle \ theta } se refiere a la densidad, y por lo tanto la presión, a través de ρ = ρ c θ y {\displaystyle \rho = \ Rho _ {c} \ theta ^{n}} para densidad central ρ c {\displaystyle \rho _ {c}} . Indice y {\displaystyle n} es el índice politropico que aparece en la ecuación del estado politropico, donde P {\displaystyle P} y ρ {\displaystyle \ rho } son la presión y la densidad, respectivamente, y K {\displaystyle K} es una constante de proporcionalidad. Las condiciones de contorno estándar son θ ( 0 ) = 1 {\displaystyle \theta (0)=1} y θ ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \theta '(0)=0} . Las soluciones luego describen la tendencia de la presión y la densidad con el radio y se conocen como politropos de índice y {\displaystyle n} . Si consideramos un fluido isotérmico (con un índice politrópico que tiende al infinito) en lugar de uno politrópico, obtenemos la ecuación de Emden - Chandrasekhar.

Físicamente, el equilibrio hidrostático conecta el gradiente de potencial, la densidad y el gradiente de presión, mientras que la ecuación de Poisson conecta el potencial con la densidad. Por lo tanto, si tenemos una ecuación adicional que dice cómo la presión y la densidad varían entre sí, se puede obtener una solución. La elección de un gas politrópico conduce a la ecuación de Lane–Emden. La ecuación es una aproximación útil para esferas de plasma autogravitantes como las estrellas, pero es típicamente una suposición bastante limitada.

Considere un fluido autogravitante de simetría esférica en equilibrio hidrostático. La masa se conserva y por lo tanto vale la pena la ecuación de continuidad donde ρ {\displaystyle \ rho } es una función de r {\displaystyle r} . La ecuación del equilibrio hidrostático es donde también m {\displaystyle m} es una función de r {\displaystyle r} . Hacer la derivada de nuevo produce donde la ecuación de continuidad se utilizó para reemplazar el gradiente de masa. Si, por otra parte, sustituido por el politrópicos de la ecuación de estado con P = K ρ c 1 + 1 y θ y + 1 {\displaystyle P = K \ rho _ {c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}} y ρ = ρ c θ y {\displaystyle \rho = \ Rho _ {c} \ theta ^{n}} , tienes que recoger las constantes y sustituir r = α ξ {\displaystyle R = \ alpha \ xi } , donde la ecuación de Lane-Emden, se puede comenzar de forma equivalente con la ecuación de Poisson, se puede reemplazar el gradiente del potencial utilizando el equilibrio hidrostático, por medio de: que de manera similar conduce a la forma dimensional de la ecuación de Lane–Emden Multiplicando ambos miembros de r 2 {\displaystyle R^{2}} y recogiendo los derivados de P {\displaystyle P} a la izquierda, puede escribir divide a ambos miembros por r 2 {\displaystyle R^{2}} da, en cierto sentido, una forma dimensional de la ecuación deseada.

Para un cierto valor del índice politrópico y {\displaystyle n} , la solución a la ecuación de Lane - Emden se indica como θ y ( ξ ) {\displaystyle \theta _{n} (\xi)} . En general, la ecuación de Lane-Emden debe resolverse numéricamente para encontrar θ y {\displaystyle \ theta _ {n}} . Hay soluciones exactas y analíticas para algunos valores de y {\displaystyle n} , especialmente: y = 0 , 1 , 5 {\displaystyle N = 0, 1, 5} . Para y {\displaystyle n} entre 0 y 5, las soluciones son continuas y finitas, con el radio de la estrella dado por R = α ξ 1 {\displaystyle R = \ alpha \ xi _ {1}} , donde θ y ( ξ 1 ) = 0 {\displaystyle \ theta _{n} (\xi _{1}) = 0} . La presión se puede encontrar utilizando la ecuación de estado politropico, P = K ρ 1 + 1 y {\displaystyle P = K \ rho ^{1+{\frac {1} {n}}}} , es decir, finalmente, si el gas es perfecto, la ecuación de Estado es P = k B ρ T / μ {\displaystyle P = k_{B} \ rho T / \ mu } , donde k B {\displaystyle k_ {B}} es la constante de Boltzmann y μ {\displaystyle \ mu } la masa molecular Media Para una cierta solución θ y {\displaystyle \ theta _ {n}} , el perfil de densidad viene dado por la masa total M {\displaystyle M} de una estrella dada integrando la densidad de 0 a ξ 1 {\displaystyle \ xi _ {1}} . Si y = 0 {\displaystyle n = 0} , la ecuación se convierte por reordenar e integrar se llega a dividir a ambos miembros por ξ 2 {\displaystyle \ xi ^{2}} e integrar de nuevo proporciona las condiciones para el contorno θ ( 0 ) = 1 {\displaystyle \theta (0)=1} y θ ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \theta ''(0)=0} implica que las constantes de integración son C 0 = 1 {\displaystyle C_{0}=1} y C 1 = 0 {\displaystyle C_{1} = 0} Por Lo Tanto, Cuando y = 1 {\displaystyle n=1} , la ecuación se puede desarrollar en la forma en que se asume que la solución es una serie de potencias: conduce a una relación de recursión para los coeficientes del desarrollo: este informe se puede resolver, obteniendo la solución general: la condición de límite para una física politropica requiere que θ ( ξ ) → 1 {\displaystyle \ theta (\xi) \ rightarrow 1} para ξ → 0 {\displaystyle \ xi \ rightarrow 0} Esto requiere que a 0 = 1 , a 1 = 0 {\displaystyle A_{0}=1, a_{1} = 0} , llegando así a la solución: partimos de la ecuación de Lane–Emden: reescribir para d θ d ξ {\displaystyle {\frac {d \ theta} {D \ xi }}} obtenemos: derivando con respecto a ξ conduce a: que simplificado se convierte en: por lo tanto la ecuación de Lane-Emden tiene la solución cuando y = 5 {\displaystyle n = 5} El perfil de temperatura es entonces dado por En casos de simetría esférica, la ecuación de Lane–Emden es integrable solo para tres valores del índice politrópico y {\displaystyle n} .

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