Ecuación de Gross-Pitaevsky

En Mecánica Estadística y física de la materia condensada, la ecuación Gross - Pitaevsky (GPE, llamada así por Eugene P. Gross y Lev Petrovič Pitaevsky) describe el estado fundamental de un sistema cuántico de bosones idénticos, utilizando la aproximación Hartree-Fock y un modelo de interacción potencial efectivo. Un condensado de Bose-Einstein (BEC) es un gas de bosones que están en el mismo estado cuántico y por lo tanto pueden ser descritos por la misma función de onda. Una partícula cuántica libre es descrita por una sola partícula ecuación de Schrödinger. La interacción entre las diversas partículas en un gas real se tiene en cuenta mediante una ecuación de Schrödinger adecuada para muchos cuerpos. En la aproximación Hartree-Fock, la función de onda total Ψ {\displaystyle \Psi } sistema de Y {\displaystyle N} los bosones se descomponen en un producto de funciones de partículas individuales ψ {\displaystyle \psi } , donde r Me {\displaystyle \ mathbf {r} _{i}} es la coordenada de la Me {\displaystyle i} - th boson. Si la distancia promedio entre partículas en un gas es mayor que la longitud de dispersión (es decir, en el llamado límite diluido), entonces uno puede aproximar el verdadero potencial de interacción que caracteriza esta ecuación con un potencial real. A una temperatura suficientemente baja donde la longitud de onda de Broglie es mucho más larga que la escala de la interacción bosón - bosón, el proceso de dispersión puede ser bien aproximado por la dispersión de onda S (I. e. ℓ = 0 {\displaystyle \ ell = 0} en la descomposición de onda parcial, es decir, solo se considera el término correspondiente al potencial de esfera rígida). En ese caso, el Hamiltoniano del modelo real del sistema se puede escribir como: donde m {\displaystyle m} es la masa del bosón, V {\displaystyle V} es el potencial externo, a s {\displaystyle a_{s}} es la longitud de la dispersión de ondas S-bosón-bosón, y δ ( r ) {\displaystyle \ delta (\mathbf {r})} es la función delta de Dirac. El límite diluido también permite pasar por alto las interacciones entre retroexcavadoras (o más) de bosones (lo que llevaría a términos de mayor no linealidad). El método variacional muestra que si la función de onda de partícula única satisface la siguiente ecuación de Gross-Pitaevsky: la función de onda total minimiza el valor de expectativa del modelo Hamiltoniano con condición de normalización ∫ d V | Ψ | 2 = Y . {\displaystyle \ int dV / \ Psi / ^{2} = N. } Por lo tanto, tal función de onda de una sola partícula describe el estado fundamental del sistema. GPE es un modelo de ecuación para la función de onda de una sola partícula en el estado fundamental en un condensado de Bose - Einstein. Es similar en forma a la ecuación de Ginzburg – Landau y es un caso especial de la "ecuación no lineal de Schrödinger" . La no linealidad de la ecuación Gross-Pitaevskii tiene su origen en la interacción entre partículas: cuando la constante de acoplamiento de la interacción en la ecuación Gross - Pitaevskij se establece en cero, la ecuación de Schrödinger se encuentra para una sola partícula dentro de un agujero potencial. Esta ecuación es capaz de reproducir muchos fenómenos asociados con los superfluidos, pero debe tenerse en cuenta que, debido al límite diluido, no puede considerarse una descripción fiel del superfluido de helio - 4 (que de hecho no es un condensado de Bose - Einstein propiamente dicho).

La ecuación toma la forma de la ecuación de Schrödinger con la adición de un término de interacción. Acoplamiento constante Gram {\displaystyle g} es proporcional a la longitud de dispersión de onda S a s {\displaystyle a_{s}} de dos bosones que interactúan: donde ℏ {\displaystyle \hbar } es la constante de Planck reducida y m {\displaystyle m} es la masa del bosón. La densidad de energía es donde Ψ {\displaystyle \Psi } es la función de onda, o parámetro de orden, y V {\displaystyle V} es el potencial externo (por ejemplo, una trampa armónica). La ecuación Gross-Pitaevsky independiente del tiempo, para un número conservado de partículas, es donde μ {\displaystyle \ mu } es el potencial químico. El potencial químico se encuentra a partir de la condición de que el número de partículas está relacionado con la función de onda a partir de la ecuación de gross - Pitaevsky independiente del tiempo, podemos encontrar la forma de un condensado de Bose - Einstein en varios potenciales externos (por ejemplo, una trampa armónica). La ecuación Gross - Pitaevskij dependiente del tiempo es en cambio: a partir de la ecuación gross-Pitaevskij dependiente del tiempo podemos estudiar la dinámica del condensado de Bose-Einstein. Se utiliza para encontrar los movimientos colectivos de un gas atrapado.

Dado que la ecuación de Gross-Pitaevsky es una ecuación diferencial parcial no lineal, es difícil encontrar soluciones exactas. Como resultado, las soluciones generalmente tienen que ser encontradas por un gran número de métodos de aproximación. La solución exacta más simple es la solución de partículas libres, con V ( r ) = 0 {\displaystyle V (\mathbf {r}) = 0} , Esta solución a menudo se llama solución de Hartree. Aunque satisface la ecuación Gross-Pitaevsky, deja una brecha en el espectro de energía debido a la interacción: de acuerdo con el teorema de Hugenholtz – Pines, un gas Bose que interactúa no tiene una brecha de energía (en el caso de interacciones repulsivas). Los solitones unidimensionales se pueden observar en un condensado de Bose-Einstein, y dependiendo de si la interacción es atractiva o repulsiva, son solitones claros u oscuros. Si el BEC es repulsivo, es decir Gram & gt; 0 {\displaystyle g> 0} , entonces una posible solución de la ecuación Gross - Pitaevsky es, donde ψ 0 {\displaystyle \psi _ {0}} es el valor de la función de onda del condensado a x → ± ∞ {\displaystyle x\rightarrow \ pm \ infty } , y ξ = ℏ / 2 m y 0 Gram = 1 / 8 π a s y 0 {\displaystyle \ xi = \ hbar / {\sqrt {2mn_{0} g}} = 1 / {\sqrt {8 \ pi a_{s}n_{0}}}} es la duración de la consistencia (es decir, la duración de la curación, ver a continuación) Ambos casos son perturbaciones localizadas en un condensado que tiene una densidad de base uniforme. Esta solución representa un solitón oscuro, ya que hay una ausencia de condensado en un espacio con densidad distinta de cero. El solitón oscuro es también un tipo de defecto topológico, como ψ {\displaystyle \psi } invierte los valores positivos y negativos a través de la fuente, y esto corresponde a un cambio de fase de π {\displaystyle \ pi } . Para Gram & lt; 0 {\displaystyle g & lt; 0} donde está un potencial químico μ = Gram | ψ ( 0 ) | 2 / 2 {\displaystyle \ mu = g \ green \ psi (0)\green ^{2} / 2} . Esta solución representa un solitón claro, ya que hay una concentración de condensado en un espacio de densidad cero. La longitud de curación se puede entender como la escala de longitud en la que la energía cinética del bosón es igual al potencial químico: la longitud de curación proporciona la distancia más corta sobre la cual puede variar la función de onda; debe ser mucho más pequeña que cualquier escala de longitud en la solución de la función de onda en la partícula única. La longitud de curación también determina el tamaño de los vórtices que se pueden formar; es la distancia sobre la cual la función de onda se recupera desde cero hasta el centro del vórtice hasta el valor promedio (de ahí el nombre de longitud de " curación ") . En los sistemas en los que no se puede encontrar una solución analítica exacta, se puede utilizar una aproximación variacional. La idea básica es definir un ansatz variacional para la función de onda con parámetros libres, insertarlo en la energía libre y minimizar la energía con respecto a los parámetros libres del ansatz. Varios métodos numéricos, como Crank - Nicolson y métodos espectrales, se han utilizado para resolver GPE. Hay varios programas en Fortran y C para su solución en el caso de interacción de contacto e interacción dipolar de largo alcance. Si el número de partículas en un gas es muy grande, la interacción interatómica se vuelve dominada y entonces el término energía cinética puede ser pasado por alto en la ecuación de Gross - Pitaevsky. Esto se llama la aproximación de Thomas - Fermi. Para este propósito, la función de onda del condensado se aproxima por la suma de la función de onda de equilibrio ψ 0 = y y − Me μ t {\displaystyle \psi _ {0} = {\sqrt {n}} e^ {- i \ mu t}} con una pequeña perturbación δ ψ {\displaystyle \ delta \ psi } , Esta forma se inserta en la ecuación Gross-Pitaevsky dependiente del tiempo y su complejo conjugado, que se linealizan al primer orden en δ ψ {\displaystyle \ delta \ psi} colocación δ ψ {\displaystyle \ delta \ psi } cómo: las siguientes ecuaciones diferenciales acopladas para u {\displaystyle u} y v {\displaystyle v} considerando los términos con y ± Me ω t {\displaystyle e^{\pm I \ omega t}} como componentes independientes para un sistema homogéneo, es decir, para V ( r ) = c o y s t En un agujero de potencial armónico (donde la energía potencial es cuadrática con respecto al desplazamiento desde el centro), se obtiene un perfil de densidad comúnmente conocido como una "parábola invertida" . El tratamiento de Bogoljubov de la ecuación Gross-Pitaevskii es un método que encuentra las excitaciones elementales de un condensado de Bose - Einstein. {\displaystyle V ({\boldsymbol {R}}) = const. Así que suponiendo que u {\displaystyle u} y v {\displaystyle v} son olas planas con impulso q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} , se llega al espectro de energía para grandes q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} la relación de dispersión es cuadrática en q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} como es de esperar en el caso de excitaciones de partículas individuales que no interactúan El hecho de que ϵ q / ( ℏ q ) & gt; s {\displaystyle \ epsilon _ {\boldsymbol {q}}/(\hbar q) & gt; s} la exposición, según Landau, el condensado es un superfluido, lo que significa que si un objeto se mueve en el condensado a una velocidad inferior a s, no se favorecerá energéticamente para producir excitaciones, y luego el objeto se moverá sin disipación, que es la característica fundamental de los superfluidos } , usted puede conseguir V = ℏ μ − Gram y {\displaystyle V = \ hbar \ mu-gn} de la ecuación al orden cero. Para los más pequeños q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} , la relación de dispersión es lineal con s = y Gram / m {\displaystyle S = {\sqrt {ng / m}}} la velocidad del sonido en el condensado, también conocido como segundo sonido. El agujero de potencial óptico V t w Me s t ( r , t ) = V t w Me s t ( z , r , θ , t ) {\displaystyle V_ {\rm {twist}} (\mathbf {r}, t) = v_ {\rm {twist}} (z, r, \ theta, t)} podría estar formado por dos vórtices ópticos de contra-propagación con longitudes de onda λ ± = 2 π c / ω ± {\displaystyle \ lambda _{\pm } = 2 \ pi C / \ omega _{\pm }} , Ancho efectivo D {\displaystyle D} y carga topológica ℓ {\displaystyle \ ell } : donde δ ω = ( ω + − ω − ) {\displaystyle \delta \ omega =(\omega _ { + } - \ omega _{ - })} En el sistema de coordenadas cilíndricas ( z , r , θ ) {\displaystyle (z, r, \ theta)} el agujero potencial tiene una interesante geometría de doble hélice: en un sistema de referencia giratorio con Velocidad angular Ω = δ ω / 2 ℓ {\displaystyle \ Omega = \ delta \ omega / 2 \ ell } , la ecuación Gross-Pitaevsky dependiente del tiempo con potencial helicoidal es la siguiente: donde L ^ = − Me ℏ ∂ ∂ θ {\displaystyle {\hat {L}}= - i \ hbar {\frac {\partial} {\partial \ theta }}} es el operador de Momento angular Se realizaron experimentos para demostrar esta superfluidez del condensado, utilizando un láser azul altamente enfocado. La misma relación de dispersión se encuentra cuando el condensado se describe mediante un enfoque microscópico utilizando el formalismo de la segunda cuantización. Esto significa que el conjunto de átomos se mueve consistentemente a lo largo del eje z {\displaystyle z} con velocidad de grupo (cuya dirección está definida por los signos de la carga topológica ℓ {\displaystyle \ ell } y Velocidad angular Ω {\displaystyle \ Omega } ): El momento angular del condensado atrapado en una forma helicoidal es exactamente cero: el modelado numérico del conjunto de los átomos fríos en el potencial espiral mostraron el confinamiento de las trayectorias atómicas individuales dentro del agujero de potencial helicoidal La solución para la función de onda de condensado Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r}, t)} es una superposición de dos vórtices conjugados de materia - onda en fase: el momento macroscópicamente observable del condensado es: donde Y a t {\displaystyle N_ {\rm {at}}} es el número de átomos en el condensado.

Física de la materia condensada

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