Dominio de la integridad

En álgebra, un dominio de integridad es un anillo conmutativo con unidades tales que 0 ≠ 1 {\displaystyle 0 \ neq 1} donde el producto de dos elementos no nulos es un elemento no nulo. Los dominios de integridad son extensiones de enteros y proporcionan un conjunto natural para el estudio de la divisibilidad. En otras palabras, un dominio de integridad es un anillo conmutativo sin divisores cero. Más precisamente el anillo ( A ; + , ⋅ ) {\displaystyle (A;+, \ cdot)} es un dominio de integridad si se aplican las siguientes condiciones: la segunda ley se llama la Ley de cancelación del producto. Equivalentemente, un dominio de integridad se puede definir como un anillo conmutativo en el que el ideal nulo { 0 } {\displaystyle \ {0\}} es primo, o como un anillo secundario de algún campo. La condición de que 0 ≠ 1 {\displaystyle 0 \ neq 1} sirve al único propósito de excluir el anillo banal { 0 } {\displaystyle \ {0\}} con un solo elemento.

El campo cociente se puede construir explícitamente, cociendo el conjunto de pares del producto cartesiano de A {\displaystyle A} , escrito en el formulario a / b {\displaystyle A / b} , con a {\displaystyle a} y b {\displaystyle B} en A {\displaystyle A} y b ≠ 0 {\displaystyle B \ neq 0} , a través de la relación de equivalencia a / b ∼ c / d {\displaystyle A / B \ Yes c / d} si y solo si a d = b c {\displaystyle ad = bc} y proporcionándole operaciones el campo de fracciones de enteros es el campo de números racionales : en este caso la relación de equivalencia es la habitual, por lo que 4 / 3 {\displaystyle 4/3} y 8 / 6 {\displaystyle 8/6} ellos son en verdad los mismos número racional Si A {\displaystyle A} es un dominio de integridad, el campo más pequeño Q u o t ( A ) {\displaystyle \mathrm {Quot} (A)} que contiene A {\displaystyle A} como un anillo sub se determina únicamente a menos de isomorfismos y se llama el campo de fracciones o campo cociente de A {\displaystyle A} . El campo de fracciones de un campo es el campo mismo.

Ambos A {\displaystyle A} un dominio de integridad.

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