Determinante (álgebra)

En álgebra lineal, el determinante de una matriz cuadrada A Acerca de Nosotros} es un número que describe algunas propiedades algebraicas y geométricas de la matriz. Generalmente se indica con Detalles ( A ) Método de codificación de datos:)} y, a veces, con | A | ¿Por qué?} . El principal significado geométrico del determinante se obtiene interpretando la matriz cuadrada A Acerca de Nosotros} orden y {\displaystyle n} como una transformación lineal de un espacio vectorial a y {\displaystyle n} dimensiones: con esta interpretación, el valor absoluto de Detalles ( A ) Método de codificación de datos:)} es el factor por el cual se cambian los volúmenes objetos contenidos en el espacio (incluso si esto es incorrecto sin considerar el significado de la medición) La última notación es más compacta, pero también más ambigua, ya que a veces se usa para describir una norma matricial. El determinante es una herramienta poderosa utilizada en varios campos de las matemáticas: primero en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, luego en cálculo infinitesimal multidimensional (por ejemplo, jacobiano), cálculo tensor, geometría diferencial, teoría combinatoria, etc. Si es distinto de cero, el signo determinante también indica si la transformación A Acerca de Nosotros} preserva o cambia la orientación del espacio en relación con los ejes de referencia.

El determinante de una matriz de 2 × 2 es igual a: para definir el determinante de una matriz cuadrada genérica y × y {\displaystyle n \ times n} Se pueden seguir dos enfoques: el axiomático, que define el determinante como la única cantidad que satisface algunos axiomas, y el constructivo a través de una fórmula explícita. También hay varios métodos de cálculo que son más fáciles dependiendo del contexto. El determinante es la única función Detalles : K y × y → K (displaystyle \ det: K ^ {N \ veces n} \ a K} que tiene las siguientes propiedades: las propiedades enumeradas tienen un significado geométrico: son las propiedades que una función cuyo valor absoluto es el volumen del poliedro detectado por los vectores de fila de la matriz debe verificar Bienvenido ¿Por qué?} y cuyo signo es positivo si y solo si tal los vectores están equioriented a la base canónica El determinante de una matriz A y × y ¿Qué puedes encontrar en Neodigit}} se puede definir de una manera más constructiva, mediante la fórmula de Leibniz: en la fórmula, S y Método de codificación de datos:}} es el conjunto de todas las permutaciones σ ¿Cómo puedo hacerlo? } del conjunto numérico { 1 , 2 , … , y } ¿Qué puedes encontrar en Neodigit\}} , sgn ⁡ ( σ ) ¿Cómo puedo hacerlo?)} denota el signo de permutación ( + 1 {\displaystyle +1} si σ ¿Cómo puedo hacerlo? } es una permutación, − 1 Todos los derechos reservados.} si es impar) y σ ( Me ) ¿Cómo puedo hacerlo?)} indica el Me Por supuesto.} - º elemento de la permutación Ambos K y × y ¿Qué puedes encontrar en Neodigit}} el espacio vectorial de matrices cuadradas y × y {\displaystyle n \ times n} a valores en el campo K {\displaystyle K} (por ejemplo, el campo de números reales o complejos). De esta fórmula se ve que el número de elementos de la suma es igual a y ! {\displaystyle n! } (la cardinalidad de S y Método de codificación de datos:}} ). Por ejemplo, el determinante de una matriz de 3 × 3 (n = 3) es en particular: esta última fórmula se puede almacenar a través de la regla Sarrus (que no es extensible a los casos y Más información; 3 - Displaystyle n & gt; 3} ). La complejidad de la definición constructiva (incluida la generación de permutaciones) es alta: .

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