Derivada direccional

En el análisis matemático, la derivada direccional es una herramienta que generaliza el concepto de derivada parcial de una función en múltiples variables extendiéndola a cualquier dirección, Identificada por un vector en el origen. En Geometría Diferencial la derivada direccional se generaliza a una variedad diferenciable a través del concepto de derivada covariante.

La derivada direccional de una función escalar f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , … , x y ) {\displaystyle F (\mathbf {x}) = f (x_{1}, x_{2}, \ ldots, x_{n})} a lo largo de un vector unitario v = ( v 1 , … , v y ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1}, \ ldots, v_{n})} se define por el límite: en cada punto x {\displaystyle \ mathbf {x} } la derivada direccional D v f ( x ) {\displaystyle D_ {\mathbf {v}} {f} (\mathbf {x})} representa la variación de f {\displaystyle F} largo v {\displaystyle \ mathbf {v} } Por ejemplo, considere una función de dos variables f : Ω → R {\displaystyle f:\Omega \ to \ mathbb {R} } , con Ω ⊆ R 2 {\displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {r} ^{2}} un set abierto. Dado un vector v = ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1}, V_{2})} la derivada direccional de f {\displaystyle F\; } largo v {\displaystyle \ mathbf {v} } en el punto ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω {\displaystyle (x_{0}, y_{0})\in \ Omega } , viene dado por: y existe si el límite es finito. Si la función f {\displaystyle F} es diferenciable en x {\displaystyle \mathbf {x} } , entonces la derivada direccional existe a lo largo de cada vector v {\displaystyle \ mathbf {v} } y usted tiene: donde ∇ {\displaystyle \nabla } el segundo miembro representa el gradiente, y ⋅ {\displaystyle \ cdot } el producto escalar euclidiano.

Se puede extender el concepto de derivada direccional presente en el espacio euclidiano ordinario a una variedad diferenciable arbitraria por medio de la derivada covariante, que permite calcular la derivada de un campo vectorial, o de un campo Tensor más general, en un punto de la variedad a lo largo de una dirección fija. Si v {\displaystyle \ mathbf {v} } es un vector tangente M {\displaystyle M} en p {\displaystyle \mathbf {p} } y γ : → M {\displaystyle \ gamma: \ to M} es una curva diferenciable tal que γ ( 0 ) = p {\displaystyle \ gamma (0) = \ mathbf {p} } y γ ′ ( 0 ) = v {\displaystyle \ gamma '' (0) = \ mathbf {v} } , entonces la derivada direccional de f {\displaystyle F} en la dirección v {\displaystyle \ mathbf {v} } , a menudo denotado por ∇ v f ( p ) {\displaystyle \nabla _ {\mathbf {v}} f (\mathbf {p})} , se define como: esta relación es también el punto de partida para las definiciones de derivada de lie y derivada externa, Central en Geometría Diferencial y topología diferencial Ambos M {\displaystyle M} una variedad diferenciable y p {\displaystyle \mathbf {p} } un punto de M {\displaystyle M} . Ambos también f {\displaystyle F} una función definida en un círculo de p {\displaystyle \mathbf {p} } y diferenciable en p {\displaystyle \mathbf {p} } . La noción de derivada covariante es esencialmente equivalente a la de conexión: en una variedad diferenciable es posible elegir entre una infinidad de posibles conexiones, y por lo tanto de posibles nociones de derivada covariante. A través de él, en física, se definen varios tensores que miden la curvatura de una variedad, como el tensor de Riemann y el Tensor De Ricci.

La derivada de f ( v ) {\displaystyle f (\mathbf {v})} en comparación con v {\displaystyle \ mathbf {v} } (O en v {\displaystyle \ mathbf {v} } ) en la dirección u {\displaystyle \mathbf {u} } se define como: y tiene las siguientes propiedades: ambos f ( v ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v})} una función vectorial de v {\displaystyle \ mathbf {v} } Entonces la derivada de f ( v ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v})} en comparación con v {\displaystyle \ mathbf {v} } (O en v {\displaystyle \ mathbf {v} } ) en la dirección u {\displaystyle \mathbf {u} } es el vector: y tiene las siguientes propiedades: ambos f ( S ) {\displaystyle f ({\boldsymbol {S}})} una función real de un Tensor de segundo orden S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} Entonces la derivada de f ( S ) {\displaystyle f ({\boldsymbol {S}})} en comparación con S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} (O en S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} ) en la dirección T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} es el Tensor de segundo orden: por cada Tensor de segundo orden T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} y disfruta siguientes propiedades: ambos F ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}} ({\boldsymbol {S}})} una función que mapea tensores de segundo orden S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} en tensores de segundo orden Entonces la derivada de F ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}} ({\boldsymbol {S}})} en comparación con S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} (O en S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} ) en la dirección T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} es el Tensor del cuarto orden: para cada Tensor del segundo orden T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} , y disfruta de las siguientes propiedades: Muchos resultados importantes de la mecánica del continuo se expresan a través del concepto de derivada de vectores con respecto a vectores, y de tensores con respecto a vectores y tensores. Ambos f ( v ) {\displaystyle f (\mathbf {v})} una función real de v {\displaystyle \ mathbf {v} } .

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