Curvatura seccional

En Geometría Diferencial, la curvatura seccional mide la curvatura de una variedad riemanniana a lo largo de los planos del espacio tangente en un punto de la variedad. La curvatura seccional contiene la misma cantidad de información que el Tensor de Riemann.

Ambos p {\displaystyle p} un punto en una variedad riemanniana M {\displaystyle M} , y σ {\displaystyle \ sigma } un plano (pasando por el origen) en el espacio tangente T p {\displaystyle T_{p}} en p {\displaystyle p} . El mapa exponencial envía una apertura de σ {\displaystyle \ sigma } que contiene el origen en una superficie S {\displaystyle S} , contenido en M {\displaystyle M} y tangente a σ {\displaystyle \ sigma } en p {\displaystyle p} . Esta es el área obtenida tomando localmente todas las geodésicas de p {\displaystyle p} sobornos a σ {\displaystyle \ sigma } . La curvatura seccional K ( σ ) {\displaystyle K (\sigma)} de M {\displaystyle M} en comparación con σ {\displaystyle \ sigma } es la curvatura gaussiana de S {\displaystyle S} en p {\displaystyle p} .

La curvatura seccional se puede obtener del Tensor de Riemann. Ser u {\displaystyle u} y v {\displaystyle v} dos vectores que generan el plano σ {\displaystyle \ sigma } la fórmula donde R {\displaystyle R} es el tensor de Riemann, y el producto escalar está dado por el Tensor métrico. Por otro lado, el Tensor de Riemann se puede expresar completamente en términos de las curvaturas Seccionales en el punto.

Una variedad de curvatura seccional constante es una variedad riemanniana en la que la curvatura seccional es siempre un valor K {\displaystyle K} , independientemente del punto p {\displaystyle p} y desde el avión σ {\displaystyle \ sigma } . A menos que calentemos el Tensor métrico por un factor constante, se puede suponer que esta curvatura es K = − 1 {\displaystyle K = - 1} , 0 {\displaystyle 0} o 1 {\displaystyle 1} . La variedad se llama hiperbólica, plana y elíptica respectivamente. Para todos los tamaños y {\displaystyle n} hay (a menos que se recaliente) exactamente una variedad hiperbólica, plana y elíptica, que también está conectada, simplemente conectada y completa. Estos son respectivamente el espacio hiperbólico H y {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} , Espacio euclidiano R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} y la esfera S y {\displaystyle S^{n}} . Cada otra variedad hiperbólica, plana y elíptica completa tiene uno de estos tres modelos como recubrimiento universal, y por lo tanto se construye a partir de esto como un cociente de un grupo apropiado de isometrías. Por ejemplo, el espacio proyectivo real R P y {\displaystyle \mathbb {R} \ mathbb {p} ^{n}} es una variedad elíptica obtenida cociendo la esfera S y {\displaystyle S^{n}} a través del mapa antipodal.

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