Coxeter group

En matemáticas, un grupo de Coxeter es un grupo abstracto que admite una descripción formal en términos de simetrías de espejo. De hecho, los grupos de Coxeter finitos son más precisamente los grupos de reflexión finitos euclidianos; los grupos de simetría de los poliedros regulares dan ejemplos. Debe decirse de inmediato que no todos los grupos de Coxeter son finitos, y no todos ellos se pueden describir en términos de simetrías y reflexiones euclidianas. Los grupos Coxeter llevan el nombre del matemático británico Harold Coxeter (1907-2003) y encuentran aplicación en muchas áreas de las matemáticas. Ejemplos de grupos de Coxeter finitos son los grupos de simetría de politopos regulares y los grupos de Weyl de álgebras de Lie simples. Ejemplos de grupos Coxeter infinitos son los grupos triangulares correspondientes a teselaciones regulares del plano euclidiano y el plano hiperbólico, y los grupos Weyl de las álgebras KAC-Moody de dimensión infinita.

Un grupo de Coxeter es un grupo que tiene una presentación del tipo donde m ii = 1 y m ij ≥2 para i ≠ j. la condición m ij = ∞ significa que no se puede imponer ninguna relación de la forma (r i r j) m. De las definiciones anteriores pueden extraerse algunas conclusiones. La matriz de Coxeter es una matriz simétrica de apariencia n × n cuyas entradas denotamos por m ij. De hecho, cada matriz simétrica con entradas enteras positivas y ∞ y con entradas diagonales iguales a 1 sirve para definir un grupo de Coxeter. La matriz de Coxeter puede codificarse convenientemente mediante un llamado "gráfico de Coxeter" , de acuerdo con las siguientes reglas: en particular, dos generadores cambian Si y solo si no están conectados a través de un lado del gráfico. El gráfico donde los vértices de 1 {\displaystyle 1} a y {\displaystyle n} se colocan en una fila con cada vértice conectado por un lado sin etiquetar a su vecino inmediato da lugar a un grupo simétrico s n + 1; Los generadores corresponden a las permutaciones ( 1 {\displaystyle (1} 2 ) {\displaystyle 2)} , ( 2 {\displaystyle (2} 3 ) {\displaystyle 3)} , Además, si un gráfico de Coxeter tiene dos o más componentes conectados, el grupo asociado es el producto directo de los grupos asociados con los componentes individuales. ( y {\displaystyle (n} y + 1 ) {\displaystyle n+1)} . Dos permutaciones no consecutivas siempre cambian, mientras que ( k {\displaystyle (k} k + 1 ) {\displaystyle k+1)} ( k + 1 {\displaystyle (k + 1} k + 2 ) {\displaystyle k + 2)} dar ( k {\displaystyle (k} k + 1 {\displaystyle k+1} k + 2 ) {\displaystyle k + 2)} . Por supuesto, esto solo muestra Que S N + 1 es un grupo cociente del grupo Coxeter, pero no es demasiado difícil verificar la igualdad que mantiene.

Cada grupo de Weyl se puede realizar como un grupo de Coxeter. El gráfico de Coxeter se puede obtener del diagrama de Dynkin reemplazando cada lado doble con un lado etiquetado 4 {\displaystyle 4} y cada lado Triple con un lado etiquetado 6 {\displaystyle 6} . El ejemplo dado anteriormente corresponde al grupo Weyl del sistema raíz de tipo A n. El grupo Weyl incluye la mayoría de los grupos de Coxeter finitos, pero también hay ejemplos adicionales. La siguiente lista proporciona todos los gráficos de Coxeter conectados que dan lugar a grupos finitos. Comparando esto con la lista de sistemas de raíces simples, vemos que B n y C n dan lugar al mismo grupo de Coxeter. También, G 2 parece faltar, pero está presente bajo el nombre i 2 (6). Las adiciones a la lista son H 3, H 4 e i 2 (p). Algunas propiedades de los grupos de Coxeter finitos se dan en la siguiente tabla: todos los grupos de simetría de politopos Regulares son grupos de Coxeter finitos. Los grupos diédricos, que son los grupos simétricos de polígonos regulares, forman la serie I 2 (p). El grupo simétrico de un simple regular-n es el grupo simétrico S n + 1, también conocido como el grupo Coxeter de tipo A n. El grupo de simetría del cubo-n es el mismo que el del politopo cruzado-n, es decir, BC n. El grupo de simetría del Dodecágono regular y el icosaedro regular es H 3. En tamaño 4 {\displaystyle 4} , hay tres politopos especiales, el de 24 células, el de 120 células y el de 600 células. El primero tiene el grupo simétrico F 4, mientras que los otros dos tienen el grupo simétrico H 4. Los grupos de Coxeter de Tipo D n, E 6, E 7, E y 8 son grupos de simetría de algunos politopos semiregulares.

Los grupos afines de Weyl forman una segunda serie importante de grupos de Coxeter. Estos no son finitos per se, pero cada uno contiene un subgrupo abeliano normal, por lo que el grupo correspondiente cociente es finito. En cada caso, el grupo cociente es en sí mismo un grupo Weyl, y el gráfico de Coxeter se obtiene del gráfico de Coxeter del grupo Weyl agregando un vértice adicional y uno o dos lados adicionales. Por ejemplo, para n ≥2, el gráfico que consiste en n + 1 vértices en un círculo se obtiene de un n de esta manera, y el grupo correspondiente del grupo de Coxeter es de Weyl afín a n. Para n =2, esto puede describirse como el grupo de simetría del estándar piastrellamento del plano por triángulos equiláteros. La siguiente es una lista de grupos relacionados con Coxeter: Tenga en cuenta que el subíndice es en cualquier caso el número de nodos menos uno, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo mediante la adición de un nodo a un gráfico finito del grupo.

También hay grupos de Coxeter hiperbólicos que representan grupos de reflexión en geometría hiperbólica.

La elección de generadores de reflexión da lugar a una función l de longitud en un grupo de Coxeter, es decir, el número mínimo de usos de los generadores necesarios para expresar un elemento de grupo. A partir de él se define el orden Bruhat: un elemento V excede a un elemento u si tiene una longitud mayor que 1 y es el producto de u para un generador de reflexión. En otras palabras, u ≤ v significa que v es construido por u con el número L (v) − l (u) apropiado de reflexiones generadas.

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