Core (matemáticas)

En matemáticas, especialmente en álgebra, el núcleo de un homomorfismo es el conjunto de puntos que son cancelados por la función. Se define de diferentes maneras dependiendo del contexto en el que se utiliza; en general se relaciona con el concepto de función inyectiva. Uno de los casos más significativos es el de los mapas lineales entre grupos o espacios vectoriales : el núcleo es el conjunto de elementos del dominio que tienen una imagen cero, es decir, el conjunto de elementos que la aplicación envía a cero. Es un set cero. El núcleo es un subconjunto del dominio de la función, y a menudo se conoce como ker ⁡ ( f ) {\displaystyle \ ker (f)} , del alemán Kern. Hereda las mismas propiedades algebraicas del espacio en el que vive, y está estrechamente relacionada con la imagen de la función, ya que generalmente el núcleo y la imagen se comportan de manera complementaria.

El núcleo de un homomorfismo de grupos f : X → Y {\displaystyle f:X\to y} es el subconjunto de X {\displaystyle X} que consiste en los puntos que son llevados por la función en el elemento neutral de Y {\displaystyle y} : En otras palabras, el núcleo es el conjunto de puntos que se deshace por la función. El núcleo es siempre un subgrupo de X {\displaystyle X} ; en particular, siempre contiene el elemento neutro de X {\displaystyle X} . En caso de X {\displaystyle X} let ser un espacio vectorial (que es un grupo con respecto a la suma) y f {\displaystyle F} let ser una aplicación lineal (por lo tanto un homomorfismo entre los respectivos grupos aditivos), el núcleo k y r ( f ) {\displaystyle \mathrm {ker} (f)} es un vector subespacial de X {\displaystyle X} (además de ser un subgrupo). Ambos A {\displaystyle A} una matriz de tipos m × y {\displaystyle m \ times n} con elementos en un campo K {\displaystyle K} . El núcleo de A {\displaystyle A} es el conjunto de vectores v {\displaystyle v} en K y {\displaystyle K^{n}} tal que: esta definición es consistente con la anterior si la aplicación es lineal: y el núcleo de A {\displaystyle A} así definido es el núcleo de L A {\displaystyle L_ {A}} . Equivalente: el núcleo de A {\displaystyle A} es un vector subespacial de K y {\displaystyle K^{n}} , cuyo tamaño se llama la nulidad de A {\displaystyle A} .

Estructuras algebraicas

Teoría del anillo

Teoría de grupos

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