Coordenadas homogéneas

En matemáticas, Las coordenadas homogéneas o coordenadas proyectivas, introducidas por August Ferdinand Möbius alrededor de 1837, son una herramienta utilizada para describir puntos en la geometría proyectiva. Son el análogo de las coordenadas cartesianas en Geometría analítica y tienen la ventaja de ser capaces de representar coordenadas de puntos, incluso puntos infinitos, utilizando coordenadas finitas. Las coordenadas homogéneas son ampliamente utilizadas en el arte digital para la representación de objetos en el espacio y sus movimientos.

Un conjunto de objetos se representa por coordenadas homogéneas, si cada secuencia de números difiere de {\displaystyle } identifica un objeto y dos secuencias, {\displaystyle } y {\displaystyle } determinan el mismo objeto si y solo si son un múltiplo del otro, es decir, si: por ejemplo, {\displaystyle } y {\displaystyle } identificar el mismo objeto desde = − 2 {\displaystyle = - 2 } La relación de proporcionalidad definida aquí es una relación de equivalencia: esto significa que un objeto determina de manera única una clase de equivalencia de secuencias. Un espacio proyectivo asociado con un espacio vectorial V {\displaystyle V} se define como el conjunto de líneas (es decir, subespacios vectoriales de dimensión uno) de V {\displaystyle V} . Se indica con P ( V ) {\displaystyle \mathbb {P} (V)} . Si el espacio vectorial V {\displaystyle V} se proporciona con una base finita, cada vector de V {\displaystyle V} se puede describir por sus coordenadas cada línea de V {\displaystyle V} se puede describir como el intervalo lineal de un Vector no nulo v {\displaystyle v} . Las coordenadas homogéneas de esta línea, con respecto a la base elegida, son y {\displaystyle n} - upla de puntos dados por las coordenadas de v {\displaystyle v} , definido menos que multiplicación a escala. Es decir que para cada λ {\displaystyle \ lambda } diferente de cero. En caso de que el espacio V {\displaystyle V} ambos K y {\displaystyle K^{n}} , es natural tomar la base canónica : una línea de P ( K y ) {\displaystyle P (K^{n})} como {\displaystyle } , donde ( x 1 , … , x y ) {\displaystyle (x_{1}, \ ldots, x_{n})} es cualquier Vector no nulo que el generar Por lo tanto, las coordenadas de la línea están bien definidas: de hecho v {\displaystyle v} y v ′ {\displaystyle v''} son dos vectores que generan la misma línea si y solo si sus coordenadas difieren por un múltiplo escalar. Como las coordenadas de un vector en un espacio vectorial, homogénea coordenadas dependen fuertemente de la elección de una base.

Si x 1 {\displaystyle x_{1}} es distinto de cero, puede expresar el mismo punto que por otro lado, si x 1 = 0 {\displaystyle x_{1} = 0} otro valor x 0 {\displaystyle x_{0}} no puede ser nulo, y es posible expresar el mismo punto de la siguiente manera que los puntos de P ( K 2 ) {\displaystyle P (K^{2})} son exactamente Con esta descripción, la línea proyectiva es la Unión de dos piezas: todos los puntos del tipo {\displaystyle } para variar de a {\displaystyle a} en K {\displaystyle K} , que están en correspondencia con K {\displaystyle K} y el punto al infinito {\displaystyle } Cada punto de la línea proyectiva P ( K 2 ) {\displaystyle P (K^{2})} se puede escribir como un par que no sea {\displaystyle } . Cada punto del plano proyectivo P ( K 3 ) {\displaystyle P (K^{3})} se puede describir como triplete, no como nada. Como se ha visto anteriormente, los puntos de P ( K 3 ) {\displaystyle P (K^{3})} Estoy con esta descripción, el espacio proyectivo es la Unión de dos piezas: la primera es una copia del plano vectorial K 2 {\displaystyle K^{2}} el otro es una copia de la línea proyectiva P ( K 2 ) {\displaystyle P (K^{2})} ; este último se llama directamente al infinito.

Como se evidencia en los ejemplos, la elección de coordenadas proyectivas para un espacio proyectivo permite una descripción de esto como una unión de dos espacios, el primero de los puntos a lo finito, el segundo de los puntos al infinito (o impropio), de la siguiente manera: los puntos a lo finito están determinados por el vector ( x 0 , … , x y − 1 ) {\displaystyle (x_{0}, \ ldots, x_{n - 1})} , que es por lo tanto un elemento de espacio K y {\displaystyle K^{n}} Los que están en el infinito están determinados por el vector {\displaystyle } , solo menos que la multiplicación a escala: son por lo tanto elementos del espacio proyectivo de menor tamaño P ( K y − 1 ) {\displaystyle P (K^{n - 1})} . La misma descripción es factible para cada uno Me = 0 , … , y {\displaystyle i=0, \ ldots, n} fijo, definiendo Y Me {\displaystyle E_{i}} como el conjunto de puntos cuya coordenada i-ésima no es nada, y P Me {\displaystyle P_{i}} es complementario. Para cada Me {\displaystyle i} a continuación, llegar a donde P Me {\displaystyle P_{i}} es el hiperplano proyectivo definido por la ecuación x Me = 0 {\displaystyle x_{i} = 0} , y Y Me {\displaystyle E_{i}} está en correspondencia bidireccional natural con K y − 1 {\displaystyle K^{n - 1}} . Cada Y Me {\displaystyle E_{i}} se llama papel afín.

El subespacio proyectivo generado por algunos puntos P 1 , … , P k {\displaystyle P_{1}, \ ldots, P_{K}} es el subespacio más pequeño que los contiene, y se puede describir en coordenadas proyectivas como: esta definición traduce la definición normal normal de span lineal para subespacios vectoriales.

Las coordenadas homogéneas se utilizan con frecuencia en gráficos por computadora, ya que permiten representar todas las transformaciones afines a través de operaciones de matriz. Una traducción en R 2 : ( x , y ) → ( x + a , y + b ) {\displaystyle \mathbb {r} ^{2}: (x, y)\to (X + A, y + b)} se puede escribir así: donde los vectores de columna consisten en las coordenadas homogéneas del punto inicial y el punto final, respectivamente. También se pueden representar todas las transformaciones lineales, como la rotación y la reflexión, mediante matrices de la forma en que las submatrices de las dos primeras filas y de las dos primeras columnas expresan reflexiones, rotaciones o transformaciones lineales. Además, las transformaciones proyectivas también pueden ser representadas por matrices. La capacidad de realizar todas las transformaciones multiplicando matrices, es decir, por un solo mecanismo fácilmente implementable, simplifica en gran medida Las actividades Computacionales y de ingeniería de software de gráficos por computadora. Las coordenadas homogéneas son ampliamente utilizadas en representaciones de escenas 3D, y las notaciones matriciales se emplean en la mayoría de bibliotecas 3D como OpenGL y Direct3D.

Geometría proyectiva

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