Constante de Champernowne

En matemáticas, la constante de Champernowne (o constante de Mahler) C 10 es una constante real trascendente, cuya expansión decimal posee propiedades importantes. Lleva el nombre del matemático David Gawen Champernowne, quien en 1933 publicó un artículo al respecto. En base 10, el número se define concatenando los números naturales de la siguiente manera: o, equivalentemente, para cualquier otra base se puede construir una constante de la misma manera, por lo que va a determinar las otras constantes de Champernowne; por ejemplo: para una base genérica b, la constante se puede expresar como una suma de la siguiente manera .

En su artículo sobre la constante, Champernowne demostró que C 10 es un número normal en base 10. En otras palabras, sus dígitos en tal base siguen una distribución uniforme: todos los dígitos aparecen con frecuencia asintótica 1/10, todos los pares de dígitos aparecen con frecuencia asintótica 1/10 2, todos los trillizos de dígitos aparecen con frecuencia asintótica 1/103 y así sucesivamente. En un artículo de 1937 Kurt Mahler demostró que la constante es trascendente y, por lo tanto, en particular, irracional.

La representación como una fracción continua de la constante de Champernowne ha sido estudiada a fondo. Siendo la constante irracional, se deduce que su fracción continua no termina. Además, dado que la constante es trascendente y, en particular, no es un número cuadrático irreductible, su fracción continua es aperiódica. Los Términos en la expansión de la fracción continua muestran un comportamiento extraño, en el que aparecen Términos grandes entre términos muy pequeños. Por ejemplo, en la base 10, el número grande en la posición 19 (el cociente parcial 18) se compone de 166 dígitos y también el término de la fracción continua que sigue a los enumerados es extremadamente grande, con 2504 dígitos. Si continuamos, obtendríamos muchos otros números muy grandes. La presencia de estos números inusualmente grandes hace difícil calcular los Términos de la fracción continua, pero tiene la consecuencia de que la constante de Champernowne puede ser "bien aproximada" con números racionales, utilizando la fracción continua truncada justo antes de uno de estos Términos muy grandes. Por ejemplo, truncando justo antes del 4to cociente parcial, obtenemos el parcial 10/81, que se aproxima a la constante Champernowne con un error de aproximadamente 1 × 10 -9, mientras que cortando justo antes del 18to cociente parcial, obtenemos el parcial que se aproxima a la constante Champernowne con un error de aproximadamente 9 × 10 -190.

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