Coeficiente de agrupación

En teoría de grafos, El coeficiente de agrupación (o transitividad) es la medida del grado en que los nodos de un grafo tienden a estar conectados entre sí. La evidencia sugiere que en la mayoría de las redes del mundo real, y en particular las redes sociales, los nodos tienden a crear grupos que están fuertemente unidos y caracterizados por una densidad de conexiones relativamente alta; el coeficiente de agrupación de redes reales tiende a ser mayor que el del gráfico en el que los enlaces se generan aleatoriamente. Se puede medir de dos maneras diferentes: global y local. El Global describe en general la intensidad del fenómeno de clustering en la red, mientras que el local se refiere al nivel de enraizamiento de los nodos individuales.

El coeficiente de agrupación local de un nodo en un gráfico es una medida de cuánto sus vecinos tienden a formar una camarilla (o un gráfico completo). Duncan J. Watts y Steven Strogatz introdujeron esta medida en 1998 para determinar si un gráfico es o no una red dentro de la teoría del mundo pequeño. Conjunto Y Me {\displaystyle N_{i}} de los vecinos de una cumbre v Me {\displaystyle v_{i}} se define como el conjunto de nodos directamente conectados a él: definimos k Me {\displaystyle k_{i}} como la cardinalidad de | Y Me | {\displaystyle / N_{i}|} , es decir, el número de vecinos de un vértice v Me {\displaystyle v_{i}} Grafica Gram = ( V , Y ) {\displaystyle G = (V, E)} formalmente consiste en un conjunto V {\displaystyle V} de vértices y un conjunto Y {\displaystyle E} de enlaces. Enlace y Me j {\displaystyle e_{ij}} conectar un vértice v Me {\displaystyle v_{i}} con vértice v j {\displaystyle v_ {j}} . Como resultado, el coeficiente de agrupación local para gráficos orientados está dado por: la propiedad característica de un gráfico no orientado es en cambio que y Me j {\displaystyle e_{ij}} y y j Me {\displaystyle E_ {ji}} se consideran idénticos, por lo tanto para cada Y Me {\displaystyle N_{i}} Estoy allí k Me ( k Me − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {k_{i} (k_{i} - 1)} {2}}} posibles vínculos entre sus miembros En un gráfico orientado, y Me j {\displaystyle e_{ij}} se distingue por y j Me {\displaystyle E_ {ji}} , así que para cada Y Me {\displaystyle N_{i}} Estoy allí k Me ( k Me − 1 ) {\displaystyle k_{i} (k_{i} - 1)} posibles vínculos entre sus miembros. En consecuencia, el coeficiente de agrupación local para gráficos no dirigidos viene dado por:.

El concepto de coeficiente de agrupación global se basa en triples de nodos. Un triple consiste en tres nodos conectados por dos (triple abierto) o tres (triple cerrado) enlaces. Cada Triple está centrado en un nodo. Un triángulo consiste en tres bloqueos triples centrados en los tres mismos nodos que los componen. Watts y Strogatz, por otro lado, definieron el coeficiente de agrupación como la media de los coeficientes locales: esta última definición es equivalente a la primera si se utiliza la media ponderada, pesando cada uno C v {\displaystyle C_ {v}} con el número de triples donde el nodo es central: donde: tenga en cuenta que ∑ Me = 1 y w Me ≡ y ∧ ( Gram ) {\displaystyle \sum _{i = 1}^{n} w_{i} \ equiv n_ {\land } (G)} El coeficiente global de agrupación es, por lo tanto, el número de triples cerrados (o 3 veces el número de triángulos) más el número total de triples (suma de los abiertos y cerrados). El primer intento de medirlo fue realizado por Robert D. Luce y Albert D. Perry (1949). Este método se puede aplicar tanto a gráficos orientados como no orientados. En el ejemplo de la derecha solo hay un triángulo, formado por los vértices 1, 2 y 5. Las características del gráfico son las siguientes: .

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