Campo vectorial hamiltoniano

En matemáticas y física, un campo vectorial Hamiltoniano, llamado así por William Rowan Hamilton, es un tipo particular de campo vectorial inducido por una función llamada hamiltoniana, que es la Transformada de Legendre del lagrangiano de un sistema.

En general, el concepto de "campo Hamiltoniano" se define en variedades simplécticas. Desde el 2-forma ω {\displaystyle \ omega } no es degenerado, esto induce entre el fibrato tangente T M {\displaystyle TM} y fibrato cotangente T ∗ M {\displaystyle T^ { * } M} de la variedad una aplicación biunívoca, que asocia cada vector tangente a un punto p ∈ M {\displaystyle p \ in M} una forma lineal (transportador) en el mismo punto: para cada p ∈ M {\displaystyle p \ in M} , aplicación ω : T p M → T p ∗ M , {\displaystyle \ omega: T_{p}M \ to t_{p}^ { * } M, } es un isomorfismo de espacios lineales: en virtud de este hecho, cada forma 1-diferencial en M {\displaystyle M} puede coincidir con un campo vectorial Una variedad simpléctica ( M , ω ) {\displaystyle (M, \omega)} es una variedad diferenciable equipada con un diferencial de 2 formas ω {\displaystyle \ omega } definiendo sobre M {\displaystyle M} una estructura compleja no degenera (esto implica necesariamente que el M {\displaystyle M} debe tener el mismo tamaño). Bajo esta correspondencia, en particular, una forma diferencial exacta 1, derivada de cualquier función diferenciable H : M → R {\displaystyle H:M\to \ mathbb {R} } , que determina de forma única un campo vectorial X H {\displaystyle X_{H}} , dicho campo vectorial Hamiltoniano con respecto al Hamiltoniano H {\displaystyle H} . El campo en cuestión se obtiene requiriendo que para cada campo vectorial Y {\displaystyle y} en M {\displaystyle M} permite verificar la identidad: dependiendo de las convenciones, el campo vectorial Hamiltoniano se puede definir de forma equivalente con un signo opuesto. Un ejemplo de una variedad simpléctica a la que se aplica es el espacio de fase en el que evoluciona el sistema mecánico descrito por las ecuaciones de Hamilton, el fibrato cotangente del espacio de configuraciones. Esto presenta una estructura geométrica natural, llamada forma 1-Liouville θ {\displaystyle \ theta } el diferencial de los cuales ω = d θ {\displaystyle \ omega = \ mathrm {d} \ theta } , llamada forma simpléctica canónica, juega un papel clave en la estructura de las ecuaciones de Hamilton.

Cada campo vectorial X {\displaystyle X} puede inducir una transformación de la variedad M {\displaystyle M} se define sobre sí mismo, con respecto a lo cual cada punto de la variedad se traduce a lo largo de las líneas respectivas del campo de flujo (es decir, aquellas curvas en las que el vector tangente a la curva coincide con el campo vectorial X {\displaystyle X} ). Este tipo de transformación se denomina grupo a un parámetro de difeomorfismo generado por X {\displaystyle X} y en realidad es un grupo si se cumple la condición de integridad. El campo vectorial Hamiltoniano tiene la propiedad de generar un grupo a un parámetro de difeomorfismo que también es un mapa simpléctico, es decir, un mapa que preserva la forma diferencial 2 ω {\displaystyle \ omega } . En fórmulas: donde X , Y ∈ T x M {\displaystyle X, Y \ in t_{x} M} y ϕ ′ t H ( x ) {\displaystyle {{\phi}''} _ {t}^{H} (x)} denota la matriz jacobiana de ϕ t H {\displaystyle \ phi _ {t}^{H}} calculado en punto x {\displaystyle x} . Las líneas de flujo de un campo Hamiltoniano bidimensional están todas dentro de las curvas de nivel del Hamiltoniano H {\displaystyle H} , es decir, en las curvas de la ecuación Cartesiana H ( x , y ) = c {\displaystyle H (x, y) = c} para algunos c {\displaystyle c} real. Este hecho se demuestra observando que si ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} es una línea de flujo, debe valer la igualdad: así H ( ϕ ( t ) ) {\displaystyle H (\phi (t))} debe permanecer constante, de hecho: un campo Hamiltoniano X H {\displaystyle X_{H}} siempre es ortogonal al campo de gradiente ∇ H {\displaystyle \ nabla H} de su Hamiltoniano. De hecho: donde se realiza el cálculo punto a punto en coordenadas canónicas ( q , p ) {\displaystyle (q, p)} de la variedad simpléctica M {\displaystyle M} y 2n es el tamaño de M {\displaystyle M} . Todos los campos hamiltonianos son solenoidales, es decir, por el teorema de Schwarz tienen divergencia en todas partes nada: esto implica que el flujo de un campo Hamiltoniano preserva el volumen.

Para el teorema de Darboux, cada variedad simpléctica M {\displaystyle M} Tamaño atenuar ⁡ M = 2 y {\displaystyle \ dim m=2n} admite (al menos localmente para cada punto) un conjunto de coordenadas ( q λ , p λ ) , λ : 1 … y {\displaystyle (q^{\lambda }, p_ {\lambda }), \ lambda: 1 \ dots n} dichos canónicos, con respecto a los cuales la forma 2 ω {\displaystyle \ omega } es en la forma: esto significa que dos variedades simplécticas del mismo tamaño son localmente indistinguibles Con respecto a estas coordenadas, el campo vectorial Hamiltoniano se escribe localmente como: en forma de matriz: la matriz J {\displaystyle j} , también llamada matriz simpléctica, satisface la propiedad J J = − Me 2 y × 2 y {\displaystyle JJ = - i_{2n \ times 2N}} , donde Me 2 y × 2 y {\displaystyle I_{2n \ times 2N}} es la matriz de identidad. Localmente entonces la forma 2 ω {\displaystyle \ omega } en realidad, define una estructura compleja (relación similar a la C {\displaystyle \mathbb {C} } donde Me 2 = ( − 1 ) 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=({\sqrt { - 1}})^{2}= - 1} ).

La noción de campo vectorial Hamiltoniano puede conducir a la definición de paréntesis de Poisson, que son una operación bilineal antisimétrica en funciones diferenciables definidas en una variedad simpléctica M {\displaystyle M} . Además, se puede demostrar que la siguiente fórmula es válida: que identifica el conmutador de Lie de dos campos vectoriales hamiltonianos generados por los hamiltonianos f {\displaystyle F} y Gram {\displaystyle g} (el miembro derecho de la ecuación) con el campo vectorial Hamiltoniano generado directamente por el paréntesis de Poisson entre f {\displaystyle F} y Gram {\displaystyle g} , { f , Gram } {\displaystyle \ {f, g\}} (el primer miembro) Como consecuencia de esta igualdad, los paréntesis de Poisson satisfacen la identidad de Jacobi: lo que significa que el espacio vectorial de funciones diferenciables en M {\displaystyle M} , equipado con corchetes de Poisson, tiene la estructura de un álgebra de Lie en R {\displaystyle \ mathbb {R} } y el mapa definido por f ↦ X f {\displaystyle F \ mapsto X_{f}} es un Homomorfismo de álgebras de Lie, cuyo núcleo consiste en funciones localmente constantes (funciones constantes si M {\displaystyle M} está conectado) Los corchetes de Poisson se definen como: donde L X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}} denota la derivada de lie a lo largo del campo vectorial X {\displaystyle X} .

Por ejemplo, si considera el plano cartesiano R 2 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{2}} y se supone que las coordenadas x {\displaystyle x} y y {\displaystyle y} son canónicos, obtenemos que dada una función diferenciable en un Abierto X ⊆ R 2 {\displaystyle X \ subseteq \ mathbb {r} ^{2}} : el campo Hamiltoniano de H {\displaystyle H} es el campo vectorial que se asocia con un punto ( x , y ) {\displaystyle (x, y)} en X {\displaystyle X} el vector: donde H x {\displaystyle H_{x}} y H y {\displaystyle H_{y}} denotan derivadas parciales de H {\displaystyle H} En algunos contextos, en lugar de considerar espacios de fase naturalmente dotados de una estructura simpléctica, se asume tácitamente que las coordenadas en uso son canónicas (esto, en el sentido estricto, solo es posible en espacios de tamaño uniforme).

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