Autovector y autovalor

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, un vector propio de una función entre espacios vectoriales es un Vector no nulo cuya imagen es el propio vector multiplicado por un número (real o complejo) llamado valor propio. Si la función es lineal, los vectores propios que tienen el mismo valor propio en común, junto con el Vector nulo, forman un espacio vectorial, llamado espacio automático. La noción de autovector es generalizada por el concepto de vector radical o autovector generalizado. Los conceptos de autovector y autovalor se utilizan en muchos campos de las matemáticas y la física; el problema de encontrar autovalores de una función lineal corresponde a su diagonalización. Si un vector propio es una función, se llama autofunción; por ejemplo, en la mecánica clásica es muy común considerar la función exponencial f λ ( x ) = y λ x {\displaystyle f_ {\lambda } (x) = e^{\lambda x}} como una función automática de la derivada. Los formalismos de este tipo permiten describir muchos problemas relacionados con un sistema físico: por ejemplo, los modos de vibración de un cuerpo rígido o los niveles de energía de los orbitales atómicos y moleculares están asociados con vectores propios (autostatos) de funciones (observables) que determinan su dinámica. El término eigenvektor fue traducido de la palabra alemana Eigenvektor, acuñada por Hilbert en 1904. Eigen significa "propio" , "característico" . También en la literatura italiana se encuentra a menudo el vector propio referido como vector propio, vector característico o vector latente.

El plano cartesiano y el espacio euclidiano son ejemplos particulares de espacios vectoriales: cada punto del espacio se puede describir por medio de un vector, representado gráficamente por un segmento que conecta el origen con el punto. En un espacio vectorial es posible realizar transformaciones lineales de los vectores, que son: ejemplos de transformaciones lineales son las rotaciones, el omotetie (que permiten un vector de ser amplificada o contrato) y reflexiones (que permiten un vector que se transforma en su espejo de un punto, línea o plano asignado). Un vector propio para la transformación lineal L {\displaystyle L} es un vector v ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {v} \ neq 0} que como resultado de la aplicación de L {\displaystyle L} no Cambia su dirección, limitándose a ser multiplicado por un escalar λ {\displaystyle \ lambda } , el valor propio respectivo. Por lo tanto, el vector solo puede cambiar de forma (amplificado o contraído) y hacia (volcado): los vectores propios y los valores propios se definen y utilizan en matemáticas y física dentro de espacios vectoriales más complejos y abstractos que el tridimensional de la física clásica. Estos espacios pueden tener una dimensión mayor que 3 o incluso infinita(un ejemplo es el espacio de Hilbert). Las posibles posiciones de una cuerda vibratoria en una guitarra forman un espacio de este tipo: una vibración de la cuerda se interpreta entonces como una transformación de este espacio y sus vectores propios (más precisamente, sus autofunzioni) son ondas estacionarias.

Ambos T {\displaystyle T} un endomorfismo de V {\displaystyle V} , es decir, una transformación lineal: si v {\displaystyle \ mathbf {v} \ } es un Vector no nulo en V {\displaystyle V} y λ {\displaystyle \ lambda } es un escalar tal que: entonces v {\displaystyle \ mathbf {v} } es un vector propio de transformación T {\displaystyle T} , y λ {\displaystyle \ lambda } es su autovalor Ambos V {\displaystyle V} un espacio vectorial en un campo K {\displaystyle K} , que puede ser por ejemplo el campo de números reales R {\displaystyle \ mathbb {R} } o el campo de los complejos C {\displaystyle \mathbb {C} } . Ya T {\displaystyle T} es lineal, si v {\displaystyle \ mathbf {v} } es un vector propio con valor propio λ {\displaystyle \ lambda } , entonces cada múltiplo distinto de cero de v {\displaystyle \ mathbf {v} } también es un vector propio con el mismo valor propio λ {\displaystyle \ lambda } . De hecho, dijo u {\displaystyle \mathbf {u} } cualquier vector tal que u = k v {\displaystyle \mathbf {u} = k \ mathbf {v} } , con k ∈ K {\displaystyle k \ in K} usted tendrá T ( u ) = T ( k v ) = k T ( v ) {\displaystyle T(\mathbf {u})=T(k\mathbf {v})=kT (\mathbf {v})} ya T {\displaystyle T} es lineal. Pero siendo T ( v ) = λ v {\displaystyle T (\mathbf {v}) = \ lambda \mathbf {v} } , tienes que: i. e. T ( u ) = λ u {\displaystyle T (\mathbf {u}) = \ lambda \mathbf {u} } . De manera más general, los vectores propios que tienen el mismo valor propio fijo λ {\displaystyle \ lambda } , junto con el Vector nulo, generar un subespacio de V {\displaystyle V} llamado el espacio automático relativo al valor propio λ {\displaystyle \ lambda } , generalmente indicado con V λ {\displaystyle V_ {\lambda }} . El espectro de T {\displaystyle T} es el conjunto de sus valores propios. El haz espectral de T {\displaystyle T} es el extremo superior de los módulos de sus valores propios. En caso de V {\displaystyle V} es de tamaño finito, para cada elección de bases a T {\displaystyle T} una matriz, llamada matriz de transformación, está asociada de forma única. Por lo tanto, se puede hablar de una función lineal tanto en términos de función (transformación) como de Matriz, y el formalismo de matriz se usa a menudo para la búsqueda de vectores propios y valores propios. Ambos x {\displaystyle \mathbf {x} } el vector de las coordenadas de v {\displaystyle \ mathbf {v} } con respecto a una base y ser A {\displaystyle A} la matriz de transformación representativa T {\displaystyle T} comparado con la misma base. Portador x {\displaystyle \mathbf {x} } se llama un vector propio derecho, como un Vector no nulo x L {\displaystyle \mathbf {x} _{L}} se dice que el vector propio izquierdo si existe λ {\displaystyle \ lambda } tales que: donde x L H {\displaystyle \mathbf {x} _ {L}^{H}} es el complejo conjugado transpuesto vector de x L {\displaystyle \mathbf {x} _{L}} Si x L {\displaystyle \mathbf {x} _{L}} se deja autovector de A {\displaystyle A} con valor propio λ {\displaystyle \ lambda } , entonces x L {\displaystyle \mathbf {x} _{L}} también es el propio vector derecho de la matriz transpuesta conjugada A H {\displaystyle A^{H}} con autovalor el complejo conjugado λ ¯ {\displaystyle {\bar {\lambda }}} Tiene que x {\displaystyle \mathbf {x} } se dice autovector de A {\displaystyle A} si hay un escalar λ {\displaystyle \ lambda } dicho autovalor tal que: en particular, los autovalores de A {\displaystyle A} no dependen de la base elegida. Sin más aclaraciones, "autovector" significa el autovector correcto. A menudo los vectores propios son a su vez funciones, y en este caso se habla de funciones propias de un operador. Un ejemplo muy significativo en matemáticas y física es el de la autofunción: del operador diferencial derivado: al que corresponde el valor propio λ = k {\displaystyle \ lambda = k} como: .

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