Aritmética tipográfica

En matemáticas, la teoría tipográfica de números (at) es un sistema axiomático formal que describe los números naturales que aparece en el libro de Douglas Hofstadter Gödel, Escher, Bach. Es una implementación de la aritmética Peano. Como cualquier sistema que implementa axiomas Peano, la aritmética tipográfica es capaz de referirse a sí misma (es autorreferencial). Se utiliza un sistema estrecho, que se ocupa sólo de números enteros y positivos, con el fin de encontrar la menor configuración en la que parece posible expresar el Teorema de Gödel. En su versión mínima, el AT utiliza 20 símbolos, más un símbolo de fin de línea. La Asociación de cada símbolo con un número de Gödel también se define en la que se utilizan números de tres dígitos (llamados trillizos por analogía con el ADN) compuestos por los dígitos 1, 2, 3 y 6. Algunos de los símbolos y reglas derivan de un sistema formal previamente definido, llamado cálculo proposicional que implementa el cálculo proposicional comúnmente utilizado en la lógica matemática. Al traducir las fórmulas en números, Hofstadter muestra cómo el teorema de Gödel corresponde a un número, y cómo ese número es parte del AT. También se define una versión del AT que elimina algunos símbolos, llamada una versión frugal del AT.

En la aritmética tipográfica no hay un símbolo que exprese cada número natural. A cada natural se asocia en su lugar una cadena compuesta de solo dos símbolos S y 0 : y así sucesivamente. El símbolo S Se puede interpretar como "el sucesor de" .

También es necesario hacer referencia a números no especificados a priori, o variables. En AT hay cinco variables: otras variables se pueden construir agregando un ápice a su derecha, por lo que son todas variables. En la versión frugal de la AT, solo existen los símbolos

En la aritmética tipográfica, los símbolos habituales "+" se utilizan para la suma y "·" para la multiplicación. Así que para escribir "B Más c" escribes y "a Para d" escribes nota que los paréntesis son necesarios para que las cadenas estén bien formadas. También las operaciones son binarias, por lo que solo puede realizar una operación entre dos términos. Para escribir "a más B Más c" hay que escribir o para indicar igualdad se utiliza el símbolo "=" , que tiene el mismo significado que suele tener en matemáticas. Por ejemplo, es un teorema de AT (correspondiente a una declaración verdadera en aritmética), lo que significa que "3 más 3 es igual a 6" . En AT, la negación, es decir, convertir una declaración en su opuesto, se denota por el símbolo " " . Por ejemplo, es un teorema de AT. Para indicar la conjunción (" y ") puede usar los símbolos, por lo tanto, la proposición "0 más uno es igual a uno y uno más uno es igual a dos" se escribe como a: para indicar la disyunción (" o ") puede usar los símbolos para que la frase "de 0 más uno es igual a uno o uno más uno es igual a dos" se escribe como a: para indicar la implicación lógica (" si. entonces. ") , se utilizan los siguientes símbolos: por lo tanto, la proposición "si uno es igual a cero, entonces cero es igual a uno" se escribe así: .

Todos los símbolos del cálculo proposicional se utilizan en la aritmética tipográfica, y conservan su significado. Para átomos nos referimos a cadenas que atestiguan igualdades, como por ejemplo son fórmulas compuestas las siguientes:

Se utilizan dos cuantificadores: ∀ y ∃. Por ejemplo, "para cada número y cada número b, a y b es igual a b más una" , es decir, "la suma es conmutativa" . "no hay un número c tal que c más uno sea igual a cero" , es decir, "cero no es el sucesor de ningún número natural" . Una variable que se encuentra en el campo de acción de un cuantificador se llama una variable cuantificada, de lo contrario se llama una variable libre. Una fórmula que contiene al menos una variable libre se llama abierta, de lo contrario se llama cerrada o pronunciada.

La siguiente regla utiliza esta notación: una fórmula bien formada en la que la variable A es libre se abrevia con el símbolo X { a }. En su lugar, el símbolo X { Sa / a } indica la misma cadena X en la que, sin embargo, cada ocurrencia de A ha sido reemplazada por Sa. De manera similar, X { 0 / a } indica la cadena inicial en la que cada ocurrencia de a ha sido reemplazada por 0.

Teoría de números

Inteligencia artificial

Mapa Auto-Organizado

Los mapas autoorganizados (SOM) son un tipo de organización de procesos de información en una red similar a las redes neuronales artificiales. Se entrenan utili...

Paradoja de Moravec

La paradoja de Moravec es el descubrimiento por parte de investigadores de inteligencia artificial y robótica de que, contrariamente a los supuestos tradicional...

Paradójico

Esta página se basa en el artículo de Wikipedia: Fuente, Autores, Licencia Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual.
This page is based on the Wikipedia article: Source, Authors, Creative Commons Attribution-ShareAlike License.
contactos
Política de privacidad , Descargos de responsabilidad