Aplicación multilínea

En matemáticas, y más precisamente en álgebra lineal, Una aplicación multilineal es una función que generaliza el concepto de aplicación lineal a múltiples variables. Los ejemplos clásicos de aplicaciones multilineales son: las aplicaciones multilineales también son la base de la definición de tensor y forma diferencial, y por lo tanto son ampliamente utilizadas en topología diferencial en el estudio de variedades diferenciables. Tienen aplicaciones particularmente importantes en la física, especialmente en la relatividad general. Los Términos función y mapa multilínea son sinónimos.

Datos y + 1 {\displaystyle n+1} espacios vectoriales V 1 , … , V y {\displaystyle V_{1}, \ ldots, v_{n}} y W {\displaystyle W} en el mismo campo K {\displaystyle K} , una aplicación multilínea es una función que asocia y {\displaystyle n} portador v 1 , … , v y {\displaystyle v_{1}, \ ldots, V_{n}} respectivamente de V 1 , … , V y {\displaystyle V_{1}, \ ldots, v_{n}} portador f ( v 1 , … , v y ) {\displaystyle F (v_{1}, \ ldots, v_{n})} sea lineal en cada componente Es decir, la relación debe ser válida para cada componente Me {\displaystyle i} para cada n - pla de vectores v 1 , … , v y {\displaystyle v_{1}, \ ldots, v_{n}} para cada v Me , v Me ′ ∈ V Me {\displaystyle v_{i}, v ''_{i} \ in V_{i}} y para cada par de escalares μ , λ ∈ K {\displaystyle \ mu, \ lambda \ in K} . En otras palabras, la celebración de todas las variables, excepto la Me {\displaystyle i} - tienes una aplicación lineal. Si necesita resaltar el valor y {\displaystyle n} , hablamos de aplicaciones y {\displaystyle n} - lineal. Si el espacio W {\displaystyle W} es el campamento base K {\displaystyle K} , entonces la aplicación se dice forma multilineal. Si espacios vectoriales V 1 , … , V y {\displaystyle V_{1}, \ ldots, v_{n}} son todos iguales, es decir: su producto cartesiano también está indicado por V y {\displaystyle V^{n}} . El conjunto de aplicaciones y {\displaystyle n} - lineal desde V 1 × … × V y {\displaystyle V_{1}\times \ ldots \ Times v_{n}} a K {\displaystyle K} si está indicado con L y ( V 1 × … × V y , K ) {\displaystyle L^{n} (v_{1} \ times \ ldots \times v_{N}, K)} y resulta ser un espacio vectorial.

Una aplicación multilineal es una aplicación lineal si y = 1 {\displaystyle n=1} y una forma bilineal si y = 2 {\displaystyle n = 2} . El determinante de una matriz cuadrada y × y {\displaystyle n \ times n} A elementos en K {\displaystyle K} es una aplicación multi-lineal que asocia y {\displaystyle n} vectores de columna de la matriz a escalar. Trace es también una aplicación multi-lineal de este tipo.

Una aplicación multilínea se alterna si se cancela cuando se repite un vector: por ejemplo, f ( v 1 , … , v k ) = 0 {\displaystyle F (v_{1}, \ ldots, v_{k})=0} cuando los transportistas v 1 , … , v k {\displaystyle v_{1}, \ ldots, V_{K}} no todos son distintos. En general, f ( v 1 , … , v k ) = 0 {\displaystyle F (v_{1}, \ ldots, v_{k})=0} cada vez que v Me {\displaystyle v_{i}} son linealmente dependientes. Una aplicación multilineal es antisimétrica si el intercambio de dos vectores tiene el efecto de un cambio de signo: si K {\displaystyle K} es un campo de Característica distinto de dos (por ejemplo, si es el campo de números reales o complejos), los dos conceptos coinciden: una forma se alterna si y solo si es antisimétrica. El determinante es una función multilínea antisimétrica. Este es un ejemplo fundamental: si V = K y {\displaystyle V = k^{n}} , el determinante es la única forma multilineal antisimétrica que es f ( y 1 , … , y y ) = 1 {\displaystyle F (e_{1}, \ ldots, e_{n}) = 1} sobre la base canónica de K y {\displaystyle K^{n}} .

Conjunto L y ( V 1 × … × V y , K ) {\displaystyle L^{n} (v_{1} \ times \ ldots \times v_{N}, K)} n-aplicaciones lineales de V 1 × … × V y {\displaystyle V_{1}\times \ ldots \ Times v_{n}} a K {\displaystyle K} es un espacio vectorial, ya que la suma y el producto en K {\displaystyle K} inducir en es la suma y el producto para los escalares Sin embargo, el espacio vectorial L y ( V 1 × … × V y , K ) {\displaystyle L^{n} (v_{1} \ times \ ldots \times v_{N}, K)} no puede considerarse, en general, el Dual de un espacio vectorial. Para lograr este propósito es necesario definir un espacio vectorial W {\displaystyle W} en el que se puede "sumergir" el todo V 1 × … × V y {\displaystyle V_{1}\times \ ldots \ Times v_{n}} , y de tal manera que cada aplicación y {\displaystyle n} - lineal desde V 1 × V 2 × … × V y {\displaystyle V_{1} \ times V_{2} \ times \ ldots \ times V_{n}} a K {\displaystyle K} inducir una sola aplicación lineal de W {\displaystyle W} a K {\displaystyle K} Por otro lado, poder referir una aplicación multi-lineal a una aplicación lineal permitiría utilizar también para aplicaciones multi-lineales todo el álgebra de espacios duales, que constituye una importante estructura algebraica. Tal espacio W {\displaystyle W} se puede construir introduciendo el concepto de producto tensor entre espacios vectoriales y entre vectores, después de lo cual el espacio vectorial W {\displaystyle W} buscado resulta ser el producto tensor de los espacios, es decir, V 1 ⊗ … ⊗ V y {\displaystyle V_{1}\optimes \ ldots \ optimes v_{n}} .

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