Análisis De Envolvente De Datos

El análisis de envolvente de datos (DEA) es una curiosidad matemática utilizada en la investigación operativa para la estimación de los límites de la función de producción. Esta, generalmente de tipo no paramétrico, se utiliza para medir empíricamente la eficiencia de producción relativa de las unidades de producción (up, en inglés Decision making Unit: DMU) de la muestra de empresas analizadas. Muy a menudo, la función de producción y la frontera de eficiencia no se conocen, pero solo tiene un conjunto de observaciones relativas a cada individuo. En la literatura económica y Estadística se comparan dos métodos de análisis: por un lado la estimación econométrica de funciones de coste o producción, por otro el uso de técnicas de programación matemática. Las dos líneas de análisis se identifican comúnmente con los Términos paramétrico (Deterministic Frontier Analysis - DFA; stochastic Frontier Analysis - SFA) y no paramétrico (Data envelope Analysis - DEA; free Disposal Hull - FDH) métodos. El análisis de paramétrico requiere el a priori explícito de una función de producción, mientras que los de una característica no paramétrica la capacidad de determinar la eficiencia relativa de la toma de decisiones de unidad similar a través de técnicas de programación lineal sin la necesidad de especificar ni la importancia relativa de los diferentes factores de producción, ni el precio, ni la distribución de la eficiencia. En este sentido, los resultados de los métodos no paramétricos son objetivos, ya que no requieren especificaciones a priori. Por otro lado, sin embargo, su desventaja, Al ser métodos deterministas, no admite error; por lo tanto, los resultados podrían verse afectados ya que el error estadístico y la ineficiencia se confunden.

El análisis de la envolvente de datos se caracteriza por la posibilidad de determinar la eficiencia relativa de unidades de toma de decisiones similares (donde similar significa ups que utilizan los mismos insumos para producir los mismos productos en condiciones de producción idénticas). Lo que hace que el método DEA sea flexible y fácilmente aplicable a diferentes situaciones de producción es el hecho de que las medidas de eficiencia pueden llevarse a cabo incluso en ausencia de una descripción detallada del proceso de producción, en contraposición a las técnicas paramétricas (como SFA). El método DEA, desarrollado, en su primera formulación, por A. Charnes, W. Cooper y E. Rhodes (1978) determina la eficiencia de cada unidad de producción comparando su tecnología con todas las tecnologías posibles resultantes de la combinación lineal de las producciones observadas para las otras unidades de producción consideradas. El método es bastante flexible, ya que no requiere la definición de una función objetiva válida para todos y, por el contrario, deja la posibilidad de que cada unidad de toma de decisiones sopese entradas y salidas para maximizar su índice de eficiencia. Los ups con mayor índice de eficiencia formarán la frontera de la productividad. Tendrán una eficiencia igual a 1 y se definirán como eficientes. Los ups restantes tendrán un índice de eficiencia entre 0 y 1 inversamente proporcional a su distancia de la frontera. Asumimos que hay N DMUs, cada uno de los cuales utiliza varias cantidades de diferentes entradas m para producir diferentes salidas S. Más precisamente, D M U j {\displaystyle DMU_ {j}} cantidad de uso x j Me {\displaystyle x_ {ji}} de la entrada i - ésima y produce la cantidad y j r {\displaystyle y_ {jr}} salida r-th. También se supone que x j Me ≥ 0 {\displaystyle x_ {ji} \ geq 0} y y j r ≥ 0 {\displaystyle y_ {jr} \ geq 0} y que cada unidad tiene al menos una entrada y salida distinta de cero. La característica esencial de la metodología DEA es la reducción de la relación multi - salida / multi - entrada entre una sola salida "virtual" y una sola entrada "virtual" . En lenguaje de programación matemático, esta relación, sometida a maximización, constituye la función objeto para la DMU particular que se está evaluando, es decir, en símbolos: max u , v h 0 ( u , v ) = ∑ r u r y r 0 / ∑ v Me x Me 0 {\displaystyle \ max _ {u, v}h_{0} (u, v) = \sum _ {R}u_{R}y_{R_{0}}/ \ sum v_{i}x_{i_{0}}} bajo las siguientes restricciones (sin las cuales la función h 0 {\displaystyle h_{0}} es ilimitado)) r u r y r j / ∑ Me v Me x Me j u r , v Me ≥ 0 j = 0 , 1 , … , y {\displaystyle {\begin{matrix}\sum _ {r}u_{r}y_{rj}/\sum _{i}v_{I}x_{ij}& u_{r}, v_{i}\geq 0& j=0, 1, \ldots, N \ end{matrix}}} la relación anterior sin embargo produce un número infinito de soluciones; si (u*, v*) es un punto óptimo, entonces la solución (au*, av*) es un óptimo para cada a ≥ 0 De esta manera, para cada DMU, la relación entre la salida virtual única y la entrada virtual única proporciona una medida de la eficiencia técnica de la unidad en sí. Es intuitivo que el problema expuesto se puede hacer de dos maneras: maximizando el numerador y fijando el denominador (método orientado a la salida) o, viceversa, manteniendo el numerador constante y minimizando el denominador (método orientado a la entrada). La distinción es importante porque lo que se evalúa es la forma de eficiencia. Una DMU se dice eficiente de salida si no hay otra unidad que con las mismas entradas logre una mayor salida, una unidad productiva se dice en su lugar eficiente de entrada si no hay otra que logre la misma salida utilizando una cantidad menor de entrada. El mérito de Charnes, Cooper y Rhodes es que han transformado la función en un problema lineal más simple (conocido por el acrónimo CCR), agregando una restricción que normaliza a la unidad la suma ponderada de las entradas (método orientado a la entrada) o de las salidas minimizando las entradas(método orientado a la salida). Una innovación importante se debe en cambio a Banker, Charnes y Cooper (1984), que permitió a la DEA superar el límite de la hipótesis restrictiva de retornos de escala constante; el método BCC (llamado así por los tres autores) permite construir fronteras bajo la hipótesis de retornos de escala variable.

El método orientado a la entrada es el siguiente: max ρ , μ z = ∑ r ρ r y r 0 + a {\displaystyle \ max _ {\rho \mu }z = \ sum _ {R}\rho _{R}y_{R_{0}}+a} bajo restricciones ∑ r ρ r y r j − ∑ μ Me − y Me j ≤ ∑ Me μ Me x Me 0 = 1 ρ r , μ Me ≥ 0 Me = 0 , 1 , … , y {\displaystyle {\begin{matrix}\sum _{r}\rho _{r}y_{rj} - \sum \mu _{i} - y_{IJ}\LEQ & \sum _{i}\mu _{i}x_{i_{0}}=1& \Rho _{r}, \mu _{i}\geq 0& I=0, 1, \ldots, n\end{matrix}}} el problema dual, expresado en forma de matriz, asociado con la programación lineal es: Min θ , Gram θ {\displaystyle \ min _ {\theta, g} \ theta } bajo restricciones θ X 0 − Gram X ≥ 0 , Gram Y ≥ Y 0 , Gram ≥ 0 {\displaystyle {\begin{matrix}\theta X_{0} - gX\geq 0, & gY\geq y_{0}, & g\geq 0 \ end {matrix}}} interviniendo con restricciones apropiadas en los parámetros a (in) g (in) puede generar diferentes tipos de bordes de eficiencia Poniendo de hecho - a ≡ 0 {\displaystyle A \ equiv 0} , o en el problema dual equivalente, ∀ Gram ∈ ℜ + {\displaystyle \ forall g \ in \ Re ^{+}} , se obtienen bordes con rendimientos de escala constante (método DEA CCR), - a ≤ 0 {\displaystyle A \ leq 0} , o ∑ Gram ≤ 1 {\displaystyle \ sum g\leq 1} , los bordes con retornos de escala no están permitidos creciente, - a ≥ 0 {\displaystyle a \ geq 0} , o ∑ Gram ≥ 1 {\displaystyle \ sum g \ geq 1} , los bordes con rendimientos de escala decreciente no están permitidos, - ∀ a ∈ ℜ {\displaystyle \ forall a\in \ Re } , o ∑ Gram ≡ 1 {\displaystyle \ sum g \ equiv 1} , tiene bordes con retornos de escala variable (método DEA BCC)

El método orientado a resultados es el siguiente: min η , ω = ∑ Me η Me x Me 0 + b {\displaystyle \ min _ {\eta, \ omega }=\sum _ {i} \ eta _ {I}x_{i_{0}}+b} bajo restricciones ∑ b − ∑ r ω r y r j − ∑ Me η Me x Me j ≥ 0 , ∑ r ω r y r 0 = 1 , ρ r , μ Me ≥ 0 j = 0 , 1 , … , y {\displaystyle {\begin{matriz}\sum b - \sum _{r}\omega _{r}y_{rj} - \sum _{i}\eta _{i}x_{ij}\geq 0, & \sum _{r}\omega _{r}y_{r_{0}}=1, & \rho _{r}, \mu _{i}\geq 0& j=0, 1, \ldots, n\end{matriz}}} El problema de la doble asociados con el es: max ϕ , f ϕ {\displaystyle \ max _ {\phi, f} \ phi } bajo restricciones f X ≤ X 0 , ϕ Y 0 − f Y ≥ 0 , f ≥ 0 {\displaystyle {\begin{matrix} fX \ leq X_{0}, & amp; \ phi y_{0} - fY \ geq 0, & amp; f\geq 0\end{matrix}}} también colocando para el - b ≡ 0 {\displaystyle B \ equiv 0} , o ∀ f ∈ ℜ + {\displaystyle \ forall f \ in \ Re ^{+}} , se obtienen bordes con rendimientos de escala constante (método CCR), - b ≥ 0 {\displaystyle B \ geq 0} , o ∑ f ≤ 1 {\displaystyle \sum f\leq 1} , fronteras con rendimientos de escala no crecientes, - b ≤ 0 {\displaystyle B \ leq 0} , o ∑ f ≥ 1 {\displaystyle \sum F \ geq 1} , bordes con rendimientos de escala no decrecientes, - ∀ b ∈ ℜ {\displaystyle \ forall b \ in \ Re } , o ∑ f ≡ 1 {\displaystyle \ sum F \ equiv 1} , bordes con rendimientos de escala variable (método BCC)

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