Acoplamiento (teoría de grafos)

En la disciplina matemática de la teoría de grafos, una coincidencia o conjunto de aristas independientes en un grafo es un conjunto bipartito de aristas sin vértices comunes. También puede ser un grafo entero que consiste en aristas sin vértices comunes.

Dado un gráfico G = (V, E), un acoplamiento M en G es un conjunto de arcos emparejados no adyacentes; es decir, no hay dos arcos que compartan un vértice común. Un vértice está emparejado (o saturado) si es un extremo de uno de los bordes en el emparejamiento. De lo contrario, el vértice no está emparejado. Un límite de acoplamiento es un par M de un gráfico G con la propiedad de que si cualquier arco no en M Se agrega a M, no es más para un par, es decir, M es máximo si no es un subconjunto apropiado de cualquier otro que coincida en el gráfico G. En otras palabras, un acoplamiento M de un gráfico G es máximo si cada arco en G tiene una intersección no está vacío, al menos un arco en M. La siguiente figura muestra ejemplos de acoplamientos máximos (rojos) en tres gráficos. Un acoplamiento máximo (también conocido como acoplamiento con cardinalidad máxima) es un acoplamiento que contiene el número máximo posible de bordes. Puede haber muchos acoplamientos máximos. El número de acoplamientos ν ( Gram ) {\displaystyle \ nu (G)} de un gráfico Gram {\displaystyle G} es el tamaño de un acoplamiento máximo. Tenga en cuenta que cada acoplamiento máximo es un máximo, pero no cada acoplamiento máximo es un acoplamiento máximo. La siguiente figura muestra ejemplos de acoplamientos máximos en los mismos tres gráficos. Un acoplamiento perfecto (también conocido como factor 1) es un acoplamiento que empareja todos los vértices del gráfico. Es decir, cada vértice del gráfico es incidente exactamente en un borde del acoplamiento. La Figura (b) anterior es un ejemplo de un acoplamiento perfecto. Cada acoplamiento perfecto es máximo y por lo tanto máximo. En una parte de la literatura, se utiliza el término apareamiento completo. En la figura anterior, solo la Parte (b) muestra un acoplamiento perfecto. Un acoplamiento perfecto es también una cubierta de los bordes del tamaño mínimo. Por esta razón, ν ( Gram ) ≤ ρ ( Gram ) {\displaystyle \nu (G)\leq \rho (G)} , es decir, el tamaño de un acoplamiento máximo no es mayor que el tamaño de una cubierta de vértice mínima. Un acoplamiento casi perfecto es aquel donde exactamente un vértice no está acoplado. Esto solo puede suceder cuando el grafo tiene un número impar de vértices, y tal acoplamiento debe ser máximo. En la figura anterior, la Parte (c) muestra un acoplamiento casi perfecto. Si, para cada vértice en un gráfico, hay un acoplamiento casi perfecto que omite solo ese vértice, el gráfico también se llama crítico con respecto a los factores. Dado un acoplamiento M, Se puede demostrar que un acoplamiento es máximo si y solo si no tiene una trayectoria creciente. (Este resultado a veces se llama lema de Berge.) .

En cualquier grafo sin vértices aislados, la suma del número de acoplamientos y el número de cubiertas de aristas es igual al número de vértices. Si hay una coincidencia perfecta, entonces tanto el número de coincidencias como el número de cubiertas de bordes son | V / / 2. Si A y B son dos acoplamientos máximos, entonces / a / ≤2 | B |y| B |≤2/a/. Para ver esto, observe que cada borde en B \ A puede ser adyacente a lo más dos bordes en A \ B, porque a es un acoplamiento; además, cada borde en A \ B es adyacente a un borde (B \ A para massimalità de B, entonces también obtenemos que en particular, esto muestra que cualquier techo de acoplamiento es una aproximación de 2 del máximo de acoplamiento y también una aproximación de 2 del máximo de acoplamiento al mínimo. Esta desigualdad es estrecha: por ejemplo, si G es un camino con 3 bordes y 4 nudos, el tamaño de un acoplamiento máximo mínimo es 1 y el tamaño de un acoplamiento máximo es 2.

Una función que genera el número de acoplamientos de K bordes en un gráfico se llama el polinomio de los acoplamientos. Sea G un gráfico y m k el número de pares de K aristas. Un polinomio de los pares de G es otra definición da el polinomio correspondiente como donde n es el número de vértices en el gráfico. Cada tipo tiene sus propios usos; para obtener más información, consulte el artículo sobre polinomios de pares.

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